[論文レビュー] Maximal ideal space of a commutative coefficient algebra

B. K. Kwaśniewski, А. В. Лебедев|ArXiv.org|Nov 24, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可換 $ C^* $-代数 $ \cal A $ と部分等長作用素 $ U $ によって生成される係数 $ C^* $-代数 $ \overline{E_*({\cal A})} $ の最大イデアル空間の完全な位相的記述を提供する。この最大イデアル空間は、$ \cal A $ のスペクトル上の写像 $ \alpha $ による無限後向き軌道によってパラメータ化された、可算個の局所コンパクトかつ開かつ閉集合 $ \widehat{M}_N $ と閉集合 $ M_\infty $ の不交和に分解される。位相はシリンダ集合によって定義される。

ABSTRACT

The basic notion of the article is a pair (A,U), where A is a commutative C*-algebra and U is a partial isometry such that mapping U()U* is an endomorphism of A and U*U belongs to A. We give a description of the maximal ideal space of the smallest coefficient C*-algebra of the algebra C*(A,U) generated by the system (A,U).

研究の動機と目的

• ペア $ (\cal A, U) $ に関連する最小の係数 $ C^* $-代数 $ \overline{E_*({\cal A})} $ の最大イデアル空間を記述すること。ここで $ \cal A $ は可換 $ C^* $-代数であり、$ U $ は自己準同型 $ \delta $ を生成する部分等長作用素である。
• 最大イデアル空間 $ M(\overline{E_*({\cal A})}) $ と、$ \delta $ が $ \widehat{\cal A} $ 上に誘導する写像 $ \alpha $ による有限および無限後向き軌道によってパラメータ化された集合の不交和との間にホメオモーフィズムを確立すること。
• $ \cal A $ に属する関数によって定義されるシリンダ集合と局所基底を用いて、$ \overline{E_*({\cal A})} $ のスペクトルの位相的特徴づけを提供すること。

提案手法

• $ \overline{E_*({\cal A})} $ の最大イデアル空間 $ M(\overline{E_*({\cal A})}) $ は、不交和 $ \bigcup_{N=0}^\infty \widehat{M}_N \cup M_\infty $ として構成される。ここで $ \widehat{M}_N $ は、$ x_n \in \Delta_n $、$ x_N \notin \Delta_{-1} $、かつ $ \alpha(x_n) = x_{n-1} $ を満たす列 $ \widetilde{x} = (x_0, \dots, x_N, 0, \dots) $ からなる。
• $ M_\infty $ は、すべての $ n \geq 1 $ に対して $ \alpha(x_n) = x_{n-1} $ を満たし、$ x_n \in \Delta_n \cap \Delta_{-\infty} $ である無限列 $ \widetilde{x} = (x_0, x_1, \dots) $ からなる。
• 基本近傍系は次のように定義される：$ \widetilde{x} \in \widehat{M}_N $ のとき、$ O(a_1, \dots, a_k, \varepsilon) = \{ \widetilde{y} \in \widehat{M}_N : |a_i(x_N) - a_i(y_N)| < \varepsilon \} $ であり、$ \widetilde{x} \in M_\infty $ のとき、$ O(a_1, \dots, a_k, n, \varepsilon) = \{ \widetilde{y} \in \bigcup_{N=n}^\infty \widehat{M}_N \cup M_\infty : |a_i(x_n) - a_i(y_n)| < \varepsilon \} $ である。
• 構成は、$ \cal A $ をガルファンド変換により $ C(M) $ に同定することに依存し、自己準同型 $ \delta $ が最大イデアル空間 $ M = \widehat{\cal A} $ 上に部分写像 $ \alpha: \Delta \to M $ を誘導する。$ x \in \Delta $ ならば $ \delta(f)(x) = f(\alpha(x)) $、そうでなければ 0 である。
• $ \widetilde{x}(U^{*N}U^N) = 1 $ かつ $ \widetilde{x}(U^{*N+1}U^{N+1}) = 0 $ であるときかつそのときに限り $ \widetilde{x} \in \widehat{M}_N $ であるという事実を用いて、$ \widehat{M}_N $ が開かつ閉であることを特徴づける。
• $ U^*U \notin \cal A $ の場合に一般化するため、$ \cal A_1 = \langle \cal A, U^*U \rangle $ という $ C^* $-代数を考案し、$ \overline{E_*({\cal A}_1)} = \overline{E_*({\cal A})} $ であることを示した。これにより、スペクトルは変わらず、一般結果を普遍的に適用可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数代数 $ \overline{E_*({\cal A})} $ の最大イデアル空間は、元の可換 $ C^* $-代数 $ \cal A $ のスペクトルおよび自己準同型 $ \delta $ とどのように関係しているか。
• RQ2 $ M(\overline{E_*({\cal A})}) $ の位相的構造は何か。また、$ \delta $ が誘導する写像 $ \alpha $ による後向き軌道の観点から、どのように分解できるか。
• RQ3 $ M(\overline{E_*({\cal A})}) $ が無限後向き軌道集合 $ M_\infty $ のみに還元される条件は何か。
• RQ4 $ M(\overline{E_*({\cal A})}) $ 上の位相はどのように定義されるか。また、$ \widehat{M}_N $ および $ M_\infty $ の点に対する基本近傍系は何か。

主な発見

• $ M(\overline{E_*({\cal A})}) $ は、$ \bigcup_{N=0}^\infty \widehat{M}_N \cup M_\infty $ にホメオモーフィックである。ここで $ \widehat{M}_N $ および $ M_\infty $ はいずれも局所コンパクトかつ開かつ閉な部分集合である。
• $ \widehat{M}_N $ の各点は、$ \alpha(x_n) = x_{n-1} $、$ x_N \notin \Delta_{-1} $、$ x_n \in \Delta_n $ を満たす有限後向き軌道 $ (x_0, \dots, x_N) $ に対応する。一方、$ M_\infty $ は、すべての $ n $ に対して $ x_n \in \Delta_n \cap \Delta_{-\infty} $ を満たす無限後向き軌道からなる。
• $ \widehat{M}_N $ は $ M(\overline{E_*({\cal A})}) $ 内で開かつ閉であり、それらの不交和と $ M_\infty $ は局所コンパクトハウスドルフ空間をなす。
• $ \widetilde{x} \in \widehat{M}_N $ の基本近傍系は $ O(a_1, \dots, a_k, \varepsilon) = \{ \widetilde{y} \in \widehat{M}_N : |a_i(x_N) - a_i(y_N)| < \varepsilon \} $ で与えられ、$ \widetilde{x} \in M_\infty $ の場合は $ O(a_1, \dots, a_k, n, \varepsilon) = \{ \widetilde{y} \in \bigcup_{N=n}^\infty \widehat{M}_N \cup M_\infty : |a_i(x_n) - a_i(y_n)| < \varepsilon \} $ で与えられる。
• $ U $ が等長作用素（すなわち $ U^*U = 1 $）であるとき、写像 $ \alpha $ は全射となるため、すべての $ N \geq 0 $ に対して $ \widehat{M}_N = \emptyset $ となり、$ M(\overline{E_*({\cal A})}) = M_\infty $、すなわちすべての無限後向き軌道の集合となる。
• $ U^*U \notin \cal A $ の条件でも構成は安定であり、$ \cal A_1 = \langle \cal A, U^*U \rangle $ という $ C^* $-代数に移行しても $ \overline{E_*({\cal A}_1)} = \overline{E_*({\cal A})} $ であるため、スペクトルは変わらず、一般結果を普遍的に適用可能となる。