[論文レビュー] Maximal inequalities and Riesz transform estimates on $L^p$ spaces for Schrödinger operators with nonnegative potentials

Pascal Auscher, Besma Ben Ali|arXiv (Cornell University)|May 2, 2006

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、非負なポテンシャル $V$ を持つシュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ に対して、逆ホーラー条件の下で鋭い $L^p$ 最大不等式およびリーマン変換の推定を確立する。フェッファーマン＝フォン不等式の改良と弱解に対する逆ホーラー推定を活用することで、$V \in B_q$ のとき $1 < p < 2(q + \varepsilon)$ に対して $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ が成り立つことを証明し、$L^2$ の場合を超えて一般の $p$-範囲へ結果を拡張する。

ABSTRACT

We show various $L^p$ estimates for Schrödinger operators $-Δ+V$ on $\RR^n$ and their square roots. We assume reverse Hölder estimates on the potential, and improve some results of Shen \cite{Sh1}. Our main tools are improved Fefferman-Phong inequalities and reverse Hölder estimates for weak solutions of $-Δ+V$ and their gradients.

研究の動機と目的

• 非負なポテンシャル $V$ を持つシュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ に対する $L^p$ 最大不等式を確立すること。
• リーマン変換の推定を $L^2$ の場合を超えて、一般の $L^p$ 空間 ($1 < p < \infty$) へ拡張すること。
• $H = -\Delta + V$ の平方根が $L^p$ で勾配項とポテンシャル項を制御することを証明すること。
• $V$ に対する逆ホーラー条件の下で、$H = -\Delta + V$ および $H^{1/2}$ の $L^p$-ドメインを特定すること。
• $B_q$ 条件の下で、リーマン変換および関連作用素の $L^p$ 有界性に関する既存の結果を統合・改善すること。

提案手法

• 解およびその勾配の点ごとの挙動を制御するため、改良されたフェッファーマン＝フォン不等式を用いる。
• $(-\Delta + V)u = 0$ の弱解およびその勾配に対する逆ホーラー推定を適用する。
• $L^2$ から他の $p$-範囲へ $L^p$ 界を拡張するために、複素補間技法を用いる。
• $A_\infty$ 重みおよびその自己改善性を活用し、$B_q$ 条件をわずかに大きな指数へ拡張する。
• dyadic 分解および弱型推定を用いて、形式 $\nabla H^{-1}V^{1/2}$ の作用素の $L^p$ 有界性に関する定理 5.1 を適用する。
• 熱核推定および波動方程式の有限伝搬速度を用いて Lorentz 空間の界を導出し、それを $L^p$ へ補間する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $V$ にどのような条件下で、任意の $1 < p < \infty$ に対して $L^p$ 最大不等式 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + Vu)\|_p$ が成り立つか。
• RQ2 $V \in B_q$ のとき、リーマン変換推定 $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ が成り立つ $p$ はどれか。
• RQ3 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p \lesssim \|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p$ が成り立つ $p$ の範囲を $p=2$ を超えて拡張できるか。
• RQ4 $V$ に逆ホーラー条件が成り立つとき、作用素 $(-\Delta + V)^{1/2}$ の正確な $L^p$-ドメインは何か。
• RQ5 $A_\infty$ 重みおよび逆ホーラー条件の自己改善性は、リーマン変換の $p$-有界性の範囲にどのように影響するか。

主な発見

• $V \in B_q$ かつ $q > 1$ のとき、$\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ は $1 < p < 2(q + \varepsilon)$ に対して成り立つ。ここで $\varepsilon > 0$ は $V$ の $B_q$ 定数に依存する。
• $V \in A_\infty = \bigcup_{q>1} B_q$ のとき、$\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_{1,\infty} \lesssim \|\nabla u\|_1 + \|V^{1/2}u\|_1$ および $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p \lesssim \|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p$ は $1 < p < 2$ に対して成り立つ。
• $V \in B_q$ かつ $q \geq n/2$ のとき、$q < n$ の場合は $1 < p < q^* + \varepsilon$、$q \geq n$ の場合は $1 < p < \infty$ に対して $\|\nabla u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ が成り立つ。ここで $q^* = \frac{nq}{n-q}$ である。
• $V \in B_p$ のとき、$H = -\Delta + V$ の $L^p$-ドメインは $W^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n, V^p)$ と等価であり、ノルムは $\|u\|_p + \|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p$ と等価である。
• $1 < p < \infty$ に対して、$V \in B_{p/2}$（$p > 2$ の場合）または $V \in A_\infty$（$p < 2$ の場合）の条件下で、$H^{1/2}$ の $L^p$-ドメインは $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n, V^{p/2})$ に同定される。
• $V \in B_q$ のとき、作用素 $\nabla H^{-1}V^{1/2}$ は $2 < p < q^*$ で $L^p$ 上有界であり、$B_q$ 条件の自己改善により $p < q^* + \varepsilon$ へ拡張可能である。