[論文レビュー] Maximal inequality of Stochastic convolution driven by compensated Poisson random measures in Banach spaces

Jiahui Zhu, Zdzisław Brzeźniak+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間における補正付きポアソン確率測度によって駆動される確率的畳み込みに対して、q次のノルムの二回連続微分可能で、フレシェ微分が制御可能である条件の下で、最大不等式を確立する。主な結果は、畳み込み過程の右連続左極限（càdlàg）修正の本質的上限に関するモーメントバウンドであり、従来のウィーナー駆動から一般のバナッハ空間におけるジャンプ拡散設定へと拡張されたものである。バナッハ空間はマルティンゲール型 p ∈ (1,2] を満たす。

ABSTRACT

Let $(E, \| \cdot\|)$ be a Banach space such that, for some $q\geq 2$, the function $x\mapsto \|x\|^q$ is of $C^2$ class and its first and second Fréchet derivatives are bounded by some constant multiples of $(q-1)$-th power of the norm and $(q-2)$-th power of the norm and let $S$ be a $C_0$-semigroup of contraction type on $(E, \| \cdot\|)$. We consider the following stochastic convolution process \begin{align*} u(t)=\int_0^t\int_ZS(t-s)ξ(s,z)\, ilde{N}(\mathrm{d} s,\mathrm{d} z), \;\;\; t\geq 0, \end{align*} where $ ilde{N}$ is a compensated Poisson random measure on a measurable space $(Z,\mathcal{Z})$ and $ξ:[0,\infty) imesΩ imes Z ightarrow E$ is an $\mathbb{F}\otimes \mathcal{Z}$-predictable function. We prove that there exists a càdlàg modification a $ ilde{u}$ of the process $u$ which satisfies the following maximal inequality \begin{align*} \mathbb{E} \sup_{0\leq s\leq t} \| ilde{u}(s)\|^{q^\prime}\leq C\ \mathbb{E} \left(\int_0^t\int_Z \|ξ(s,z) \|^{p}\,N(\mathrm{d} s,\mathrm{d} z) ight)^{\frac{q^\prime}{p}}, \end{align*} for all $ q^\prime \geq q$ and $1

研究の動機と目的

• ウィーナー駆動からジャンプ拡散過程への最大不等式の拡張。
• 補正付きポアソン確率測度によって駆動される確率的畳み込みに対して、càdlàg修正の存在を確立する。
• バナッハ空間および半群における滑らかさと収縮性の仮定の下で、過程の上限に関するモーメントバウンドを導出する。
• ヒルバート空間および2-滑らかなバナッハ空間における先行研究を、ノルム滑らかさを制御するより広いクラスのバナッハ空間へ一般化する。
• 無限次元設定における純ジャンプノイズを伴う確率的発展方程式を分析するための枠組みを提供する。

提案手法

• 確率的畳み込み過程を、$ C_0 $-収縮半群 $ S(t) $ を補正付きポアソン確率測度 $ \tilde{N} $ に対して積分することで定義する。
• バナッハ空間 $ E $ が、$ \|x\|^q $ が $ C^2 $ であり、フレシェ微分がノルムの $ (q-1) $ および $ (q-2) $ 乗で有界であると仮定する。
• マルティンゲール型 $ p $ バナッハ空間（$ p \in (1,2] $）における補正付きポアソン測度の確率積分理論を用いる。
• ノルムの滑らかさを活用して二次変動を制御するため、$ q' \geq q $ に対して $ \|\tilde{u}(t)\|^{q'} $ に伊藤の公式を適用する。
• ドーブ型最大不等式およびモーメント推定を用いて最大不等式を導出し、$ \mathbb{E} \sup_{s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{q'} \leq C \, \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^p \, N(ds,dz) \right)^{q'/p} $ の形のバウンドを得る。
• さらに $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ の場合に、$ n \geq \lfloor \ln q / \ln p \rfloor $ の条件下で、増加する順序 $ p^k $ のモーメントの和を含む第二の不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間 $ E $ がどのような条件下に、補正付きポアソン測度によって駆動される確率的畳み込みに対して、càdlàg修正が存在するか。
• RQ2 被積分関数の可積分性を用いて、そのような畳み込み過程の上限に関する鋭いモーメントバウンドは何か。
• RQ3 ヒルバート空間から一般のノルム滑らかさを制御するバナッハ空間へのジャンプ型ノイズの最大不等式の一般化はどのように行われるか。
• RQ4 $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ の場合に、再帰的モーメント構造を用いて最大不等式を精緻化できるか。
• RQ5 ノルム関数 $ \|x\|^q $ の滑らかさと、それらの背後にあるバナッハ空間のマルティンゲール型との関係は何か。

主な発見

• 確率的畳み込み過程 $ u(t) = \int_0^t \int_Z S(t-s)\xi(s,z) \, \tilde{N}(ds,dz) $ に対して、càdlàg修正 $ \tilde{u} $ が存在する。
• すべての $ q' \geq q $ および $ 1 < p \leq 2 $ に対して、$ \mathbb{E} \sup_{0 \leq s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{q'} \leq C \, \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^p \, N(ds,dz) \right)^{q'/p} $ が成り立ち、$ C = C(q,p) $ は $ \xi $ に依存しない。
• ノルム $ \|x\|^q $ における滑らかさ条件を満たすバナッハ空間 $ E $ は、すべての $ p \in (1,2] $ に対してマルティンゲール型 $ p $ を持ち、確率積分の適切な定義を保証する。
• $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ かつ $ n \geq \lfloor \ln q / \ln p \rfloor $ のとき、不等式 $ \mathbb{E} \sup_{s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{p^n} \leq C \sum_{k=1}^n \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^{p^k} \, \nu(dz) ds \right)^{p^{n-k}} $ が成り立つ。
• この結果は、右辺が有限であれば、過程 $ u $ がcàdlàg版を有することを示し、ウィーナー系の場合に既知の結果を拡張する。
• 証明は、$ \|x\|^q $ の一次微分のグローバルリプシッツ連続性に依存しており、これは $ \|x\|^q $ のフレシェ微分に対する仮定された有界性から導かれる。