[論文レビュー] Maximal injective and mixing masas in group factors

Paul Jolissaint|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、拡張自由積および自由積から生じる群因子における特定の最大アーベル自己随伴部分代数（masa）が、強い混合性および漸近的直交性の性質を用いて最大注入的であることを確立する。ポッパの手法を一般化することで、群 $ G $ のアーベル部分群 $ H $ が条件 (ST) を満たすならば、$ L(H) $ は $ L(G) $ において強く混合的であり、最大注入的であることを証明し、より広範なクラスの群因子へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We present families of pairs of finite von Neumann algebras $A\subset M$ where $A$ is a maximal injective masa in the type $\mathrm{II}_1$ factor $M$ with separable predual. Our results make use of the strong mixing and the asymptotic orthogonality properties of $A$ in $M$ and are borrowed from ideas of S. Popa who proved that if $G$ is a non abelian free group and if $a$ is one of its generators, then the von Neumann algebra generated by $a$ is maximal injective in the factor $L(G)$. Our results apply to pairs $H

研究の動機と目的

• 自由群因子におけるポッパの最大注入的 masa の結果を、より一般の群因子へと拡張すること。
• 混合性および直交性条件を用いて、$ L(G) $ 内の masa $ L(H) $ が最大注入的である条件を同定すること。
• 中間代数の中心分解を用いて、強い混合性が群因子において最大注入性を示すこと。
• 拡張自由積群および非自明な因子を含む自由積へと、最大注入的 masa に関する結果を一般化すること。

提案手法

• ユニタリ $ u_n \to 0 $ の弱収束に対して $ \|\mathbb{E}_A(xu_n y)\|_2 \to 0 $ が成り立つことにより定義される、masa の強い混合性の性質を用いる。
• 中間代数の中心分解を保証するために、超冪代数 $ M^\omega $ における漸近的直交性の性質を適用する。
• 強い混合性のための群論的条件 (ST) を用いる：任意の有限集合 $ C \subset G\setminus H $ に対して、$ g_1 h g_2 \notin H $ がすべての $ h \notin E $、$ g_1,g_2 \in C $ に対して成り立つような $ E \subset H $ が存在する。
• 拡張自由積 $ H_1 *_Z H_2 $ における混合性および直交性を検証するために、(H1)–(H3) を満たす明示的な列 $ (W_m) $ を構成する。
• 中間代数 $ N $ に対して $ L(H) \subset N \subset L(G) $ が成り立つとき、中心分解定理を用いて $ Ne_0 = L(H)e_0 $ および $ k \geq 1 $ に対して $ Ne_k $ がフル因子に分解されることを示す。
• 中間代数 $ N $ の相対可換束における非自明な中心射影が存在しないことにより、強い混合性が最大注入性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような群論的条件下で、群因子 $ L(G) $ 内の masa $ L(H) \subset L(G) $ が最大注入的であるか？
• RQ2 超冪代数 $ M^\omega $ における強い混合性および漸近的直交性の性質が、masa の最大注入性をどのように保証するか？
• RQ3 自由群因子におけるポッパの元々の結果を、拡張自由積群へと一般化できるか？
• RQ4 中間代数 $ N $ で $ L(H) \subset N \subset L(G) $ を満たすものについて、どのような構造的性質が $ L(H) $ の最大注入性を示唆するか？
• RQ5 部分集合 $ W_m \subset G\setminus H $ に対する条件 (H1)–(H3) が、最大注入性に必要な混合性および直交性をどのように保証するか？

主な発見

• 群 $ H < G $ が条件 (ST) を満たすならば、$ L(H) $ は $ L(G) $ において強く混合的であり、したがって最大注入的である。
• 群 $ G = H_1 *_Z H_2 $ で $ H_1, H_2 $ がアーベル的で $ Z $ が中心であるとき、$ H_1 $ が (ST) を満たすならば、$ L(H_1) $ は $ L(G) $ において最大注入的である。
• 自由積 $ G = K*L $ で $ |K| \geq 2 $ かつ $ L $ に位数 $ \geq 3 $ の元を含むとき、巡回 masa $ L(\langle \alpha\beta \rangle) $ は $ L(G) $ において最大注入的である。
• 中間 von Neumann 代数 $ N $ で $ L(H) \subset N \subset L(G) $ を満たすものについて、中心分解により $ Ne_0 = L(H)e_0 $ および $ k \geq 1 $ に対して $ Ne_k $ がフル因子に分解され、最大注入性が示される。
• 超冪代数 $ M^\omega $ における漸近的直交性と強い混合性の組み合わせにより、$ A $ が $ M $ において最大注入的であることが保証され、[1] の結果が一般化される。
• 条件 (H1)–(H3) を満たす $ W_m $ および $ W_m' $ の構成により、自由積および拡張自由積における混合性および直交性条件の妥当性が確認される。