[論文レビュー] Maximal lattice free bodies, test sets and the Frobenius problem

Anders Jensen, Niels Lauritzen+1 more|ArXiv.org|May 30, 2007

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数的手法を用いて導出されたテストセットを用いて、整数行列 $A$ のための最大格子自由体を効率的に計算するアルゴリズムを提示する。この手法は、3次元フロベニウス問題におけるスカルフ＝ショールズアルゴリズムを一般化し、整数計画法とグレブナー基底技術を用いて格子自由多面体を列挙することで、フロベニウス数の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

Maximal lattice free bodies are maximal polytopes without interior integral points. Scarf initiated the study of maximal lattice free bodies relative to the facet normals in a fixed matrix. In this paper we give an efficient algorithm for computing the maximal lattice free bodies of an integral matrix A. An important ingredient is a test set for a certain integer program associated with A. This test set may be computed using algebraic methods. As an application we generalize the Scarf-Shallcross algorithm for the three-dimensional Frobenius problem to arbitrary dimension. In this context our method is inspired by the novel algorithm by Einstein, Lichtblau, Strzebonski and Wagon and the Groebner basis approach by Roune.

研究の動機と目的

• 固定された整数行列 $A$ の facet 法線に関して、すべての最大格子自由体を効率的に計算するアルゴリズムの開発。
• 最大格子自由体と高次元におけるフロベニウス問題との間の関係の確立。
• スカルフ＝ショールズの3次元フロベニウス問題用アルゴリズムを、代数的・幾何的技法を用いて任意次元に一般化すること。
• 代数的手法を用いて、行列 $A$ に関連する整数計画問題のテストセットを計算し、格子自由多面体上の効率的最適化を可能にすること。
• 整数的平行移動と多面体幾何学を活用して、格子自由体上の最大化を用いてフロベニウス数 $g(a_1,\dots,a_n)$ を計算するフレームワークの適用。

提案手法

• 行列 $A$ を用いて、$b \in \mathbb{Z}^{d+1}$ に対して $P_A(b) = \{x \in \mathbb{R}^d \mid Ax \leq b\}$ と定義される多面体族を定義し、それらの中から最大格子自由体を特定する。
• $A$ に関連する整数計画問題 $\min\{-x \mid Bx \leq b, x \in \mathbb{Z}^2\}$ のためのテストセットを、ユニモジュラー変換とグレブナー基底技術を用いて構築する。
• スカルフ＝ショールズのアルゴリズムにインspiredされた還元手順を適用し、既知のテストセット $\{e_1, e_2, e_1+e_2\}$ を持つ標準形に整数計画問題を変換する。
• ユニモジュラー変換の逆を用いて、テストセットを元の問題に再び持ち上げ、最大格子自由体の効率的列挙を可能にする。
• フロベニウス数を $g(a_1,\dots,a_n) = \max\{ab \mid K_b \text{ が最大格子自由体}\} - \sum a_i$ として計算する。ここで $K_b$ は $A$ と $b$ を用いて定義される。
• すべての最大格子自由体が有限個の代表的体の整数的平行移動であるという事実を活用し、探索空間を有限個の $b$-ベクトルに削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた整数行列 $(d+1)\times d$ の $A$ に対して、最大格子自由体をどのように効率的に列挙できるか。
• RQ2 行列 $A$ に関連する整数計画問題のテストセットの構造は何か。また、代数的にどのように計算できるか。
• RQ3 3次元フロベニウス問題用のスカルフ＝ショールズアルゴリズムは、格子自由多面体を用いて高次元に一般化可能か。
• RQ4 グレブナー基底とユニモジュラー変換の使用は、フロベニウス数の計算効率をどのように向上させるか。
• RQ5 最大格子自由体と整数点上の最適化としてのフロベニウス問題の解との間には、どのような関係があるか。

主な発見

• 本アルゴリズムは、代数的手法によって導出されたテストセットを活用することで、与えられた $(d+1)\times d$ 整数行列 $A$ に対して、すべての最大格子自由体を効率的に計算する。
• 関連する整数計画問題のテストセットは、ユニモジュラー変換とグレブナー基底技術を用いて計算され、格子自由多面体上の最適化を可能にする。
• 本手法は、3次元のケースに限らず、任意次元に一般化されたスカルフ＝ショールズアルゴリズムを提供し、その適用範囲を拡大する。
• 例として $g(12,13,17)$ を取り上げると、2つの代表的 $b$-ベクトル $b_1 = (0,5,2)^T$ と $b_2 = (0,2,3)^T$ が特定され、フロベニウス数は $g(12,13,17) = 57$ となる。
• フロベニウス数は $\max\{ab \mid K_b \text{ が最大格子自由体}\} - \sum a_i$ として計算され、$ab = -12 + 4\cdot13 + 1\cdot17 = 57$ で最大値が達成される。
• 本フレームワークは、格子自由体の効率的列挙と代数的テストセットの使用により、フロベニウス数の計算で記録更新を達成できる。