[論文レビュー] Maximal parabolic regularity for divergence operators including mixed boundary conditions

Robert Haller‐Dintelmann, Joachim Rehberg|ArXiv.org|Mar 2, 2009

Numerical methods in inverse problems参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、分布空間における第二順序発散型作用素（実数値、$L^∞$係数）に対して、極大放物型正則性を、極めて滑らかでない領域、不連続係数、混合ディリクレ＝ノイマン境界条件のもとでも確立する。主な貢献は、このような作用素が、微分指数が $[0, -1]$ の範囲にあるソボレフ空間、ベソフ空間、リゾルキン＝トライベル空間において極大放物型正則性を満たすことを証明することである。これは、グロッガーの正則集合に基づく局所化および補間技法を用いて、既知の $L^p$ 結果を分布的設定へと拡張したものである。

ABSTRACT

We show that elliptic second order operators $A$ of divergence type fulfill maximal parabolic regularity on distribution spaces, even if the underlying domain is highly non-smooth, the coefficients of $A$ are discontinuous and $A$ is complemented with mixed boundary conditions. Applications to quasilinear parabolic equations with non-smooth data are presented.

研究の動機と目的

• 非滑らかなデータをもつ発散型作用素について、$L^p$ 空間から分布空間（ソボレフ空間、ベソフ空間、リゾルキン＝トライベル空間）への極大放物型正則性の拡張を図ること。
• 既存の $L^p$ 結果が非同次ノイマン条件および分布的右辺を含まないという制限を克服すること。
• 非滑らかな設定における非線形混合境界条件をもつ擬線形放物型方程式について、これらの分布的空間における極大放物型正則性を確立すること。
• $q>2$ の $L^q$ において $(-\nabla\cdot\mu\nabla+1)^{-1/2}$ が同型写像でないという問題を、局所化および領域の幾何的仮定を用いることで克服すること。
• 理論を系および時間に依存する係数へと一般化し、非滑らかなデータをもつ擬線形方程式への応用を検討すること。

提案手法

• 極大放物型正則性を双対空間へ拡張する基盤として、$L^p$ 空間における平方根 $(-\nabla\cdot\mu\nabla)^{1/2}$ の正則性結果を用いる。
• グロッガーのモデル集合に基づく局所化手順を用いて、非リプシッツ境界および不規則な幾何構造に対処する。
• $L^q$ と $H^{-1,q}_\Gamma$ 空間の間の補間技法を用いて、中間関数空間における正則性を導出する。
• 領域 $ abla \cup \Gamma$ がグロッガー正則集合であるという仮定に依拠し、体積を保ちながらリプシッツな同相写像が存在し、局所的な幾何を単純化できることを保証する。
• 擬線形放物型方程式を標準的な抽象形に再定式化し、Prüss (2002) の存在・一意性結果を適用可能にする。これには、楕円作用素が $H^{1,q}_\Gamma$ 上で位相的同型写像であることが必要である。
• $q \in [2, \infty)$ の範囲で、領域の幾何的仮定のもとで、$(-\nabla\cdot\mu\nabla+1)^{-1/2}$ が $L^q$ から $H^{1,q}_\Gamma$ への位相的同型写像であるという性質に依拠し、正則性を双対空間へと移行可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散型作用素が不連続係数および混合境界条件をもつ場合、$L^p$ ではなく分布空間においても極大放物型正則性が確立可能か？
• RQ2 $q>2$ の $L^q$ において $(-\nabla\cdot\mu\nabla+1)^{-1/2}$ が同型写像でないという事実は、双対空間への放物型正則性の拡張を妨げるか？
• RQ3 非滑らかな設定における非線形混合境界条件をもつ擬線形放物型方程式について、理論をどの程度一般化できるか？
• RQ4 グロッガー正則性のような領域の幾何的仮定が、不規則な領域における正則性結果の局所化をどのように可能にするか？
• RQ5 結果を系および時間に依存する係数へと拡張可能か？また、最小限の仮定は何か？

主な発見

• 領域と境界部がグロッガー正則条件を満たす限り、実数値 $L^\infty$ 係数をもつ発散型作用素は、すべての $q \in [2, \infty)$ に対して $H^{-1,q}_\Gamma$ 空間で極大放物型正則性を満たす。
• 主な技術的結果は、$ abla \cup \Gamma$ がグロッガー正則集合であるとき、$(-\nabla\cdot\mu\nabla+1)^{-1/2}: L^q \to H^{1,q}_\Gamma$ が $q \in [2, \infty)$ に対して位相的同型写像であることである。
• 局所化法により、グローバル同型写像が成立しない非滑らかな領域において、$L^q$ から $H^{-1,q}_\Gamma$ への極大放物型正則性が成功裏に移行された。
• $L^q$ と $H^{-1,q}_\Gamma$ の補間により、微分指数が $[0, -1]$ の範囲にある中間空間（ベソフ空間、リゾルキン＝トライベル空間）に対しても極大放物型正則性が得られる。
• 楕円作用素 $-\nabla\cdot\mu\nabla + 1$ が $H^{1,q}_\Gamma$ 上で位相的同型写像である限り、混合非線形境界条件をもつ擬線形放物型方程式に対しても結果が適用可能である。ここで $d$ は空間次元であり、$q > d$ が必要である。
• 理論は対角系へと拡張可能であり、時間に依存する係数や非同次ディリクレ条件を最小限の修正で組み込むことができる。