[論文レビュー] Maximal representations of complex hyperbolic lattices in SU(m,n)

Maria Beatrice Pozzetti|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素ハイパボリック格子からの SU(1,p) から SU(m,n) への Zariski 稠密な最大表現が 1 < m < n のとき存在しないことを、等方部分空間の幾何的剛性およびチューブ型領域を用いて証明する。主な結果は、このような表現が必ず SU(1,p) を通じて因数分解されることを示しており、非ユニタリな符号数を持つ群における超剛性を示している。

ABSTRACT

Let $Γ$ denote a lattice in $SU(1,p)$, with $p$ greater than 1. We show that there exists no Zariski dense maximal representation with target $SU(m,n)$ if $n&gt;m&gt;1$. The proof is geometric and is based on the study of the rigidity properties of the geometry whose points are isotropic $m$-subspaces of a complex vector space $V$ endowed with a Hermitian metric $h$ of signature $(m,n)$ and whose lines correspond to the $2m$ dimensional subspaces of $V$ on which the restriction of $h$ has signature $(m,m)$.

研究の動機と目的

• 非ユニタリな符号数を持つ群における SU(m,n) における複素ハイパボリック格子の Zariski 稠密な最大表現の存在を調査すること。
• このような表現が周囲の群 SU(1,p) に拡張可能かどうかを特定し、超剛性に関する予想を検証すること。
• 幾何的および代数的制約を用いて、SU(m,n) への最大表現の Zariski 闭包の構造を分類すること。
• 非退化性の仮定の下で、Zariski 闭包内のチューブ型因子が妨げられることを示し、構造定理に至ること。

提案手法

• 複素ベクトル空間にヒルベルト内積を備えた符号数 (m,n) を持つエルミート計量における等方的 m-部分空間および (m,m)-符号数部分空間の幾何を分析する。
• 有界コホホロジーおよびトーロン不変量の剛性結果を適用し、最大表現を特徴付ける。
• タイト埋め込みおよび全純等長写像の概念を用いて、可能な像群を制約する。
• エルミートリー群間の最大表現の分類および中心化子の構造を用いる。
• 定理 2.4 および定理 2.5 を適用し、Zariski 闭包を半単純因子およびコンパクト因子に分解する。
• 線形表現に非退化性条件を課し、仮想的な SU(1,1) 要因を除外するとともに、SU(1,p) 構造を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 < m < n のとき、SU(1,p) の格子の Zariski 稠密な最大表現が SU(m,n) に存在するか？
• RQ2 このような表現が周囲の群 SU(1,p) の表現に拡張可能か？
• RQ3 SU(m,n) への最大表現の Zariski 闭包の構造はいかなるものか？
• RQ4 非退化性条件下で、このような表現の Zariski 闭包内にチューブ型因子が存在可能か？
• RQ5 像が真の部分群に含まれない場合、標準的埋め込みが唯一の可能な最大表現か？

主な発見

• 1 < m < n のとき、SU(1,p) の格子から SU(m,n) への Zariski 稠密な最大表現は存在しない。
• Zariski 稠密な最大表現が SU(m,n) に存在する場合、その表現は必ず SU(1,p) を通じて因数分解され、この場合における超剛性が証明される。
• 像の Zariski 闭包は SU(1,p) × Lt × K に分解され、ここで Lt は SU(1,1) 要因を含まないチューブ型エルミートリー群であり、K はコンパクト群である。
• Zariski 闭包の包含写像は、SU(1,p)^{m-k} × SU(k,k) × K への対角埋め込みとして実現され、SU(k,k) へのタイト埋め込みを含む。
• Zariski 闭包に非自明なチューブ型因子が含まれるならば、標準的表現は局所的剛性を失い、対角埋め込みの構造と矛盾する。
• 一般化されたトーロン不変量は連結成分上で定数であり、チューブ型因子が自明であれば、近傍の表現は標準表現に共役でなければならないことを示唆する。