[論文レビュー] Maximal Subgroups of Compact Lie Groups

Fernando Antoneli, Michael Forger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな古典的リー群の非離散な最大部分群を、三つのタイプに分類することで完全な分類を提供する：自明、正規、正規化子型。分類問題は、中心が自明なコンパクト単純リー群の有限最大Σ不変部分群およびΣプリミティブ部分代数に還元され、古典的リー代数におけるプリミティブ部分代数の正規化子を明示的に計算することで、Sp(n)、SU(n)、SO(n)の最大部分群の完全なリストが得られる。

ABSTRACT

This report aims at giving a general overview on the classification of the maximal subgroups of compact Lie groups (not necessarily connected). In the first part, it is shown that these fall naturally into three types: (1) those of trivial type, which are simply defined as inverse images of maximal subgroups of the corresponding component group under the canonical projection and whose classification constitutes a problem in finite group theory, (2) those of normal type, whose connected one-component is a normal subgroup, and (3) those of normalizer type, which are the normalizers of their own connected one-component. It is also shown how to reduce the classification of maximal subgroups of the last two types to: (2) the classification of the finite maximal $Σ$-invariant subgroups of center-free connected compact simple Lie groups and (3) the classification of the $Σ$-primitive subalgebras of compact simple Lie algebras, where $Σ$ is a subgroup of the corresponding outer automorphism group. In the second part, we explicitly compute the normalizers of the primitive subalgebras of the compact classical Lie algebras (in the corresponding classical groups), thus arriving at the complete classification of all (non-discrete) maximal subgroups of the compact classical Lie groups.

研究の動機と目的

• コンパクトリー群、特に古典的群SO(n)、SU(n)、Sp(n)の非離散最大部分群をすべて分類すること。
• 非単純または非連結群において、最大部分群が以前は主にプリミティブ作用を通じてのみ研究されていたという文献における空白を埋めること。
• 分類問題を有限群論およびΣプリミティブ部分代数の分類に還元する体系的な枠組みを確立すること。
• コンパクトな古典的リー代数におけるプリミティブ部分代数の正規化子を明示的に計算し、最大部分群の完全なリストを得ること。
• 最大部分代数が常に最大部分群に対応しないという問題、特に離散的または非連結な成分が存在する場合の問題を解消すること。

提案手法

• 最大部分群を三つのタイプに分類する：自明（有限最大部分群の逆像）、正規（連結成分が正規）、正規化子型（その連結成分の正規化子と等しい）。
• 正規および正規化子型部分群の分類を、中心が自明なコンパクト単純リー群の有限最大Σ不変部分群の分類に還元する。
• コンパクト単純リー代数のΣプリミティブ部分代数に分類問題を還元する。ここでΣは外部自己同型群の部分群である。
• 表現を用いて、古典的リー代数（A、B、C）におけるプリミティブ部分代数の正規化子を明示的に計算する：直和、テンソル積、ブロック対角包含。
• 随伴表現および群作用を用いて、成分群$ H/H_0 $を決定し、多くの場合において対称群$ S_l $に同型であることを示す。
• 特に$ l \neq 2$のとき、対称群の互換は行列式+1の内部自己同型として実現可能であり、$ \text{Aut}(\rho) \rtimes \text{Inn}(\frak{g}) = S_l $が成り立つことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリー群の最大部分群の分類を、どのように有限群論および部分代数分類に体系的に還元できるか？
• RQ2 特に離散的成分が存在する場合に、最大部分群と最大部分代数の間の正確な関係は何か？
• RQ3 どの古典的リー群の表現が、その正規化子を通じて最大部分群を生成し、これらの部分群の成分群は何か？
• RQ4 不可約表現のテンソル積および直和は、Sp(n)、SU(n)、SO(n)においてどのように最大部分群を生成するか？
• RQ5 古典的コンパクトリー群の連結部分群の正規化子が、いつ自身が最大部分群となるか？

主な発見

• コンパクトな古典的リー群の最大部分群は、三つのタイプに完全に分類される：自明、正規、正規化子型。
• Sp(n)において、最大部分群は$ n = 2pl $のとき、ブロック対角包含$ \text{Sp}(2p)^l \to \text{Sp}(n) $から生じ、成分群は$ S_l $である。
• n = (2p)^l かつ l が奇数のとき、Sp(n)における最大部分群は、Sp(2p)の定義表現のl個のテンソル積から生じ、成分群は$ S_l $である。
• Sp(2p) × Sp(2q) → Sp(2(p+q)) の包含において、包含は既約であり、p ≠ q のとき成分群は自明で、p = q のときは$ \bbZ_2 $である。
• Sp(2p) × SO(q) → Sp(2pq) の包含はテンソル積を介して既約であり、q が奇数かつq ≥ 3 のときは成分群が自明、q が偶数かつq ≥ 4 のときは$ \bbZ_2 $であるが、p=1 かつ q=4 の場合を除く。
• 最大部分群の連結成分の正規化子は常に全体の部分群に一致し、l重積でl ≥ 3 の場合、成分群$ H/H_0 $は対称群$ S_l $に同型である。