[論文レビュー] Maximal supersymmetry in ten and eleven dimensions

José Figueroa-O’Farrill|ArXiv.org|Sep 21, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は11次元およびタイプIIAの超重力における最大スカラー対称性を持つ解を分類し、タイプIIAにおける唯一の最大スカラー対称性を持つ解が、定数のドライヴンと消去された形式場を持つ平坦な時空であることを示している。カウザ・クライン還元とキリングスピンォーの解析を用いて、11次元におけるAdSやpp波解は、すべてのスカラー対称性を保存する円形作用をもたないことが証明され、10次元においても平坦時空が唯一のこのような解であるという結論に至っている。

ABSTRACT

This is the written version of a talk given in Bonn on September 11th, 2001 during a workshop on "Special structures in string theory". We report on joint work in progress with George Papadopoulos aimed at classifying the maximally supersymmetric solutions of the ten- and eleven-dimensional supergravity theories with 32 supercharges.

研究の動機と目的

• 11次元超重力における32のスカラー対称性を持つすべての最大スカラー対称性解を分類すること。
• これらの解のうち、すべてのスカラー対称性を保存する円形または$\mathbb{R}$作用を持つものがあるかどうかを特定し、カウザ・クライン還元によってタイプIIA超重力に還元可能かどうかを検討すること。
• 11次元における非平坦な解（例：AdSやpp波解）が、10次元において最大スカラー対称性を持つ解に還元可能かどうかを特定すること。
• タイプIIA超重力における最大スカラー対称性を持つ解が一意であることを確立し、その場の内容と幾何的性質を特定すること。

提案手法

• 4形式場強度$F$を含むスピン接続と曲率項を用いて定義される超共変接続$D$を用いて、スカラー対称性を持つ解を特徴付ける。
• キリングスピンォー方程式$D\varepsilon = 0$を適用し、32のスカラー対称性を保存する解を同定する。
• 時空的等長性を持つ11次元解を10次元タイプIIA超重力にカウザ・クライン還元し、計量$g$と$F$形式を計量$h$、ドライヴン$\Phi$、および場強度$H$、$G$に分解する。
• 11次元の対称空間$G_A/K_A$の等長代数を、$\mathbb{R}^9$上の対称双線形形式$A$から導出し、非可約ローレンツ型対称空間の分類を用いて解析する。
• 11次元における最大スカラー対称性を持つ解を一意に与える非退化な$A_* \in \mathcal{M}_{11}$を同定し、明示的な計量と$F$形式を提示する。
• 表現論およびスピン幾何学、特にクライフ・代数作用$c: \Lambda T^*M \to \mathrm{End}(\mathcal{S})$を用いて超共変接続を定義し、キリングスピンォーを解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 32のスカラー対称性を持つ11次元超重力解のうち、時空的等長性によって円形または$\mathbb{R}$作用を生成するものはどれか？
• RQ2 このような11次元解をカウザ・クライン還元することで得られる10次元タイプIIA超重力解は何か？
• RQ3 非平坦で最大スカラー対称性を持つ11次元解（例：AdSやpp波解）が、10次元において最大スカラー対称性を持つ解に還元可能か？
• RQ4 タイプIIA超重力には最大スカラー対称性を持つ解が一意に存在するか？その場の内容と幾何的性質は何か？

主な発見

• タイプIIA超重力における唯一の最大スカラー対称性を持つ解は、定数のドライヴンと消去された$(A, H, G)$場を持つ平坦時空である。
• 計量$g = 2dx^+dx^- - \left(\sum_{i=1}^3 (x^i)^2 + \frac{1}{4}\sum_{i=4}^9 (x^i)^2\right)(dx^-)^2 + \sum_{i=1}^9 (dx^i)^2$および$F = 3dx^- \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3$を有する11次元解は、11次元における唯一の最大スカラー対称性を持つ解である。
• この一意な11次元解は、次元38の等長群$G_A \rtimes (\mathrm{SO}(3) \times \mathrm{SO}(6))$をもち、一般の$G_A$よりも大きい。
• 11次元におけるAdS型やpp波解は、すべての32のスカラー対称性を保存するキリングベクトルをもたないため、タイプIIAへのカウザ・クライン還元の候補から除外される。
• 11次元における非可約ローレンツ型対称空間のモジュライ空間$\mathcal{M}_{11}$は$(S^8 - \Delta)/\mathfrak{S}_7$であり、最大スカラー対称性を持つ解を生成するのは唯一の点$A_*$である。