[論文レビュー] Maximality of the sum of the subdifferential operator and a maximally monotone operator

Liangjin Yao|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ドメインがロッカフェラーの制約適合性を満たし、かつ和作用素 $ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $ が (FPV) 型であるという条件下で、部分微分作用素と最大単調作用素の和の最大単調性を確立する。主な貢献は、バーヴァインとヨウのバナッハ空間における部分微分作用素と最大単調作用素の和に関する未解決問題に対する肯定的解答であり、既存の結果を一般化するとともに、和問題をより広範な作用素のクラスに結びつける。

ABSTRACT

The most important open problem in Monotone Operator Theory concerns the maximal monotonicity of the sum of two maximally monotone operators provided that the classical Rockafellar's constraint qualification holds, which is called the "sum problem". In this paper, we establish the maximal monotonicity of $A+B$ provided that $A$ and $B$ are maximally monotone operators such that $\dom A\cap\inte\dom B eq\varnothing$, and $A+N_{\overline{\dom A}}$ is of type (FPV). This generalizes various current results and also gives an affirmative answer to a problem posed by Borwein and Yao. Moreover, we present an equivalent description of the sum problem.

研究の動機と目的

• 特定の条件下で $ A + B $ の最大単調性を確立することにより、単調作用素論における長年の和問題を解決すること。
• バーヴァインとヨウの未解決問題、すなわち部分微分作用素と最大単調作用素の和に関する問題に対して肯定的解答を提供すること。
• 作用素 $ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $ に対する (FPV) 型条件を導入することで、単調作用素の和に関する既存の結果を一般化すること。
• ロッカフェラーの制約適合性の下で、和問題が閉凸集合 $ C $ に対して $ A + N_C $ の最大単調性と同値であることを示すこと。

提案手法

• 和作用素の最大単調性を分析するために、フィッツパトリック関数 $ F_{A+B} $ を用いる。
• 作用素 $ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $ に (FPV) 性質を適用し、単調性関連の点がグラフ内にあることを保証する。
• バナッハ＝アラオグルの定理と弱*収束を用いて、最大単調性を破る列から矛盾を導出する。
• 正規錐作用素 $ N_C $ と部分微分 $ \nabla f $ を用いて、凸制約と凸関数をモデル化する。
• 和問題が、$ C $ が閉凸集合であるときの $ A + N_C $ の最大単調性と同値であることに依拠する。
• 単調性、制約適合性、凸解析に関するロッカフェラー、シモンズらの結果を組み合わせて、主要定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \text{dom}(\nabla f) \bigcap \text{int}(\text{dom} B) \neq \varnothing $ かつ $ \nabla f + N_{\bar{\text{dom}}B} $ が (FPV) 型であるとき、和 $ \nabla f + B $ は最大単調か？
• RQ2 $ A + N_C $ がすべての閉凸集合 $ C $ に対して最大単調であるならば、和問題の一般解が得られるか？
• RQ3 ロッカフェラーの制約適合性の下で、和問題は $ A + N_C $ の最大単調性に帰着可能か？
• RQ4 $ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $ が (FPV) 型であるための条件は何か？ これにより $ A + B $ の最大単調性が保証される。
• RQ5 古典的制約適合性のもとで、バナッハ空間における部分微分作用素と最大単調作用素の和は常に最大単調か？

主な発見

• $ A $ と $ B $ が最大単調であり、$ \text{dom} A \cap \text{int}(\text{dom} B) \neq \varnothing $ かつ $ A + N_{\overline{\text{dom} B}} $ が (FPV) 型であるならば、和 $ A + B $ は最大単調である。
• 系 3.4 は、ボルヴィンとヨウの未解決問題 4.5 に対して肯定的解答を提供する：同じ制約適合性のもとで $ \partial f + B $ は最大単調である。
• 和問題は、$ \text{dom} A \cap \text{int} C \neq \varnothing $ を満たすすべての閉凸集合 $ C $ に対して $ A + N_C $ が最大単調であるかどうかという問題と同値である。
• $ \partial f + N_{\overline{\text{dom} B}} $ は (FPV) 型である。なぜなら、これは $ \partial(f + \iota_{\overline{\text{dom} B}}) $ に等しく、(FPV) 条件を満たすからである。
• 証明技法は、矛盾によるものである：$ F_{A+B}(z,z^*) = +\infty $ ならば、最大単調性が成立しないが、(FPV) の仮定のもとでこれは矛盾を引き起こす。
• 線形関係や凸ドメイン作用素に関する既存の定理を一般化し、(FPV) 条件が和の最大単調性に対して十分であることを示している。