[論文レビュー] Maximally coherent states

Zhaofang Bai, Shuanping Du|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は相対エントロピー測度によるコherー二ンスの下での最大コヒーレント状態（MCS）を特徴づけ、混合MCSは存在しないこと、すべての純粋MCSは対角ユニタリを介して均一重ね合わせ状態 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$ にユニタリ同値であることを証明する。また、二粒子系MCSにおいて、部分系の次元が等しいとき、コヒーレンスの超加法性が等号で成り立つのは、状態が積状態である場合に限ることを示し、MCSを保存する非コヒーレント操作は、対角ユニタリの置換によるユニタリ共役であることを特定する。

ABSTRACT

Relative entropy measure quantifying coherence, a key property of quantum system, is proposed recently. In this note, we investigate the maximally coherent state (MCS) with respect to relative entropy measure. %(denoted by $\mathcal C_{RE}$)%. We show that there are not mixed maximally coherent states and give a complete characterization of pure maximally coherent states. Based on this characterization, for a bipartite MCS with $d_A=d_B$, we obtain that the super-additivity equality of relative entropy measure holds if and only if the state is a product state of its reduced states. From the viewpoint of resource in quantum information, we find there exists a MCS with maximal entanglement. Originated from the behaviour of quantum correlation under the influence of noisy operations, we further classify the incoherent operations which send maximally coherent states to themselves.

研究の動機と目的

• 相対エントロピー測度によるコヒーレンスの下での最大コヒーレント状態（MCS）の構造的形を特徴づけること。
• 二粒子状態における相対エントロピーコヒーレンスの超加法性が等号で成り立つのは、状態がその縮約状態の積である場合に限ることという、未解決の問題を解消すること。
• 量子資源理論の観点から、最大コヒーレント状態を保存する非コヒーレント操作を同定すること。
• 一つの量子状態において、最大コヒーレンスと最大もつれが共存しうることを調査すること。

提案手法

• 主に相対エントロピーコヒーレンスを測度とし、$\mathcal{C}_{RE}(\rho) = S(\Delta(\rho)) - S(\rho)$ で定義される。ここで $\Delta(\rho)$ は $\rho$ の非コヒーレント基底における対角部分である。
• コヒーレンス測度の公理的条件を適用し、最大コヒーレンスを達成する状態の構造的制約を導出する。
• ユニタリ共役と対角ユニタリ変換を用いて、純粋MCSを $U|\psi\rangle\langle\psi|U^\dagger$ の形に分類する。ここで $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$ である。
• 二粒子系を分析する際には、密度行列を分解し、縮約状態におけるコヒーレンスを評価することで、超加法性を検証する。
• 行列解析と置換不変性を用いて、MCSを保存する非コヒーレント操作を特徴づけ、それらが対角ユニタリの置換によるユニタリ共役である必要があることを示す。
• 次元が異なる部分系に対して反例を構成し、超加法性の等号成立に際して次元が等しいことが必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対エントロピー測度によるコヒーレンスの下で、混合最大コヒーレント状態は存在するか？
• RQ2 二粒子状態における相対エントロピーコヒーレンスの超加法性が等号で成り立つのは、状態がその縮約状態の積である場合に限るか？
• RQ3 量子状態が同時に最大コヒーレントかつ最大もつれを有することは可能か？
• RQ4 どの非コヒーレント操作が最大コヒーレント状態の集合を保存するか？
• RQ5 すべての純粋最大コヒーレント状態は、対角ユニタリを介して均一重ね合わせ状態にユニタリ同値であるか？

主な発見

• 相対エントロピー測度によるコヒーレンスの下では、混合最大コヒーレント状態は存在しない。
• すべての純粋最大コヒーレント状態は、$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$ および $U$ を対角ユニタリとする形 $U|\psi\rangle\langle\psi|U^\dagger$ に表せる。
• 部分系の次元が等しい $d_A = d_B$ である二粒子最大コヒーレント状態では、超加法性の等号 $\mathcal{C}_{RE}(\rho_{AB}) = \mathcal{C}_{RE}(\rho_A) + \mathcal{C}_{RE}(\rho_B)$ が成り立つのは、$\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B$ である場合に限る。
• $d_A \neq d_B$ の場合、超加法性の等号は $\rho_{AB}$ が積状態であることを示さない。反例によりこれを示した。
• 最大コヒーレンスと最大もつれを同時に有する量子状態が存在することを示し、最大コヒーレンスと最大もつれの共存を実証した。
• 非コヒーレント操作が最大コヒーレント状態を保存するための必要十分条件は、$\Phi(\rho) = U\rho U^\dagger$ の形、すなわち対角ユニタリ行列の置換によるユニタリ共役である。