[論文レビュー] Maximally Dense Disc Packings on the Plane

Robert Connelly, Maurice Pierre|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Point processes and geometric inequalities被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、フェジェス・トーティの0.6457から0.6585に改善された、平面における最大密度の円板詰めの半径比 $ q $ の上界を向上させた。これはフェルヌーク、ハーシュミ、シゾヴァが発見した、新しい三種類の円板サイズを用いた三角形分割された詰め方を用いて達成された。この手法では、三種類の異なる円板半径を持つ対称的で三角形分割された詰め方を摂動することで、以前の二種類のサイズの詰め方を上回る密度を達成し、フラーリオの密度の理論的上界に近づいた。

ABSTRACT

Suppose one has a collection of disks of various sizes with disjoint interiors, a packing in the plane, and suppose the ratio of the smallest radius divided by the largest radius lies between $1$ and $q$. In his 1964 book Regular Figures (MR0165423), László Fejes Tóth found a series of packings that were his best guess for the maximum density for any $1 > q > 0.2$. Meanwhile Gerd Blind in (MR0275291, MR0377702) proved that for $1 \ge q > 0.72$, the most dense packing possible is $π/\sqrt{12}$, which is when all the disks are the same size. In Regular Figures, the upper bound of the ratio $q$ such that the density of his packings is greater than $π/\sqrt{12}$ that Fejes Tóth found was $0.6457072159...$. Here we improve that upper bound to $0.6585340820...$. Our new packings are based on a perturbation of a triangulated packing that has three distinct sizes of disks, found by Fernique, Hashemi, and Sizova (MR4292755), which is something of a surprise.

研究の動機と目的

• 非一様な円板詰めが六角格子密度 $ \pi/\sqrt{12} $ を上回るような半径比 $ q $ の上界を改善すること。
• 三種類の異なる円板サイズを有する新しいタイプの三角形分割された円板詰めを同定・利用し、以前の二種類のサイズの詰め方を上回る密度を達成すること。
• 対称的で三角形分割された詰め方の摂動を体系的に行い、フラーリオの密度の理論的上界に近づくこと。
• 新たに発見された詰め方の対称性群を分類・分析し、より高い密度を持つ周期的配置を構築する可能性を検討すること。

提案手法

• フェルヌーク、ハーシュミ、シゾヴァが得た既知の三種類の円板サイズを持つ三角形分割詰めを摂動し、接触グラフの三角形分割を保ちつつ密度を最大化すること。
• 円板半径 $ r_1=1 $, $ r_2=p $, $ r_3=q $ を含む三角形および平行四辺形の面積公式から導かれる幾何的制約を用いて、重なりのない状態と接触条件を満たすこと。
• 青い円板が摂動中に接触を保つことを保証するため、面積等式 $ x(1,q,p)y(1,q,p) = p\sqrt{2p+1} $ を適用すること。
• 面積等式を二乗して簡略化し、$ p $ と $ q $ の多項式方程式を導出し、有効な半径比を特定するための関連因子を分離すること。
• 導出された制約のもとで、$ A(p,q) $ を総円板面積、$ A_T(p,q) $ を総トーラス面積とする、全体の詰め込み密度 $ \Delta(p,q) = A(p,q)/A_T(p,q) $ を計算すること。
• Wolfram Alpha を用いた記号計算により、得られた高次多項式を展開・因数分解し、$ q $ の有効な解曲線を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様な円板詰めが六角格子密度 $ \pi/\sqrt{12} $ を上回るような半径比 $ q $ の最高値は何か？
• RQ2 三種類の異なる円板サイズを有する三角形分割詰めは、既知の二種類のサイズの詰め方を上回る密度を達成できるか？
• RQ3 摂動された三角形分割詰めは、フラーリオの理論的上界 $ s(q) $ にどの程度近づけるか？
• RQ4 三種類の円板サイズを持つ三角形分割詰めで実現される対称性群は何か？また、それらは新たな高密度周期的配置の構築に利用可能か？

主な発見

• 密度が $ \pi/\sqrt{12} $ を上回るような半径比 $ q $ の上界が、フェジェス・トーティの0.6457072159から0.6585340820に向上した。
• 新しい上界は、三種類の円板サイズを持つ三角形分割詰めの摂動を用いて達成されたが、これはフェジェス・トーティの以前の二種類のサイズに基づく構成とは顕著に異なる。
• 新しい詰め方の密度は、$ q > 0.65 $ の範囲で、フラーリオの理論的上界 $ s(q) $ に以前のいかなる構成よりも近づいた。
• 面積等式から導かれた制約式により、青い円板が摂動中も接触を保つことが保証され、詰め方の有効性が維持された。
• 多項式の因数分解により、$ 2p^4 + (4q+3)p^3 + (2q^2 - 2q + 1)p^2 - (5q^2 + 6q)p + q^2 = 0 $ で定義される有効な解曲線が特定され、許容される半径比が定義された。
• 全体の詰め込み密度 $ \Delta(p,q) $ は、総円板面積と総トーラス面積の比として計算され、制約条件により重なりと接触条件が保証された。