[論文レビュー] Maximising common fixtures in a round robin tournament with two divisions

Wayne Burrows, Christopher Tuffley|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Scheduling and Timetabling Solutions被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2つの部門に所属するクラブ間の同時ホーム・アウェー対戦（共通対戦）の数を最大化するためのグラフ理論的構成を提案する。完全グラフ $K_{2n}$ の二重錐型1因子分解を用いることで、$n \geq 2$ の場合に理論的上限である $2n^2 - 3n + 4$ 個の共通対戦を達成し、さらに両部門で一貫したホーム・アウェー順序を保証するように辺を向き付けることで、バランスの取れたスケジューリングが可能であることを示している。

ABSTRACT

We describe a round robin scheduling problem for a competition played in two divisions, motivated by a scheduling problem brought to the second author by a local sports organisation. The first division has teams from 2n clubs, and is played in a double round robin in which the draw for the second round robin is identical to the first. The second division has teams from two additional clubs, and is played as a single round robin during the first 2n+1 rounds of the first division. We will say that two clubs have a **common fixture** if their teams in division one and two are scheduled to play each other in the same round, and show that for n>1 the maximum possible number of common fixtures is 2n^2 - 3n + 4. Our construction of draws achieving this maximum is based on a bipyramidal one-factorisation of K_{2n}, which represents the draw in division one. Moreover, if we additionally require the home and away status of common fixtures to be the same in both divisions, we show that the draw can be chosen to be balanced in all three round robins.

研究の動機と目的

• 2部門リーグ戦の枠組みにおいて、同じ2クラブ間の対戦が同じラウンドで行われる共通対戦数を最大化すること。ただし、第1部門はダブルリーグ戦、第2部門は2名の追加クラブを含む。
• $n \geq 2$ の場合に理論的上限に達する構成的技法を、グラフ理論に基づいて開発すること。
• 共通対戦のホーム・アウェー状態を両部門で一貫させ、両部門のスケジューリングがバランスの取れた形で実現可能であることを保証すること。
• 対称的群作用と辺集合の軌道分解を用いて、小規模なケース（例：$n=2$）にとどまらず一般化された解法を構築すること。

提案手法

• 第1部門のスケジュールを、群 $G = \mathbb{Z}_{2n-2} \rtimes \mathbb{Z}_2$ の作用に基づく二重錐型構造を用いた完全グラフ $K_{2n}$ の1因子分解としてモデル化する。
• 第2部門のスケジュールを、第1部門を拡張して得られる $K_{2n+2}$ の1因子分解として構成し、サイズ $2n-2$ の軌道とサイズ6の特別な軌道 $E^G$ を用いる。
• 1因子の和集合が辺集合を分割することを確認することで、両グラフにおける辺の不交和性と被覆性を保証する。
• ラウンドごとに第1部門の1因子分解と第2部門の1因子分解の重複する辺を特定することで共通対戦数を数え、$\sigma^{r-1}$ による平行移動の下での対称性を用いる。
• 各頂点のインデグリがアウトデグリと1以内に収まるように $K_{2n+2}$ の辺に向きを付けることで、ホーム・アウェーのバランスを達成し、共通対戦では向きを保存する。
• 最終2ラウンドの向きの不均衡を解消するため、$K_{2n}$ の軌道 $O_1$ の辺の向きを反転させ、バランスを保ちつつ共通対戦のホーム・アウェー状態を $K_{2n+2}$ と一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第1部門に $2n$ 名のクラブ、第2部門に2名の追加クラブを含む2部門リーグ戦において、共通対戦数の最大値は何か？
• RQ2 この最大値は、グラフの1因子分解に基づく対称的・構造的な構成によって達成可能か？
• RQ3 共通対戦のホーム・アウェー指定を一貫させつつ、両部門のスケジューリングをバランスの取れた形に保てるか？
• RQ4 特に群作用による軌道の性質を用いた1因子分解の構造が、最適解の達成にどのように寄与しているか？

主な発見

• $n \geq 2$ の場合、共通対戦数の理論的上限は $2n^2 - 3n + 4$ 個であり、構成的上界と一致する構成によってこれがタイトであることが証明されている。
• この構成は、$K_{2n}$ の二重錐型1因子分解に基づき、群作用による軌道と辺集合を用いて $K_{2n+2}$ に拡張されている。
• $n \geq 3$ の場合、第1部門のダブルリーグ戦、第2部門のシングルリーグ戦、および統合された構造の3つのリーグ戦のスケジュールを、ホーム・アウェー対戦のバランスが取れる形に設定可能である。
• 共通対戦は全ラウンドに分布：最初の $2n-2$ ラウンドで1ラウンドあたり $n-1$ 個、ラウンド $2n-1$ で $n$ 個、ラウンド $2n$ と $2n+1$ でそれぞれ1個ずつであり、合計が提示された上限に一致する。
• $n=2$ の場合、軌道サイズの不一致により構成が失敗するため、このケースは別個に取り扱う必要がある。
• 最終2ラウンドの向きの不均衡は、$K_{2n}$ の軌道 $O_1$ の辺の向きを反転させることで解消され、バランスは保たれつつ共通対戦のホーム・アウェー状態は $K_{2n+2}$ と一致する。