[論文レビュー] Maximization of Approximately Submodular Functions

Thibaut Horel, Yaron Singer|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2024

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 65

ひとこと要約

この論文は、カーディナリティ制約の下で ε-近似的にサブモジュラ関数を最大化する問題を研究し、クエリ複雑性の下界を提供し、一定因子近似の条件を特定する。

ABSTRACT

We study the problem of maximizing a function that is approximately submodular under a cardinality constraint. Approximate submodularity implicitly appears in a wide range of applications as in many cases errors in evaluation of a submodular function break submodularity. Say that $F$ is $\varepsilon$-approximately submodular if there exists a submodular function $f$ such that $(1-\varepsilon)f(S) \leq F(S)\leq (1+\varepsilon)f(S)$ for all subsets $S$. We are interested in characterizing the query-complexity of maximizing $F$ subject to a cardinality constraint $k$ as a function of the error level $\varepsilon>0$. We provide both lower and upper bounds: for $\varepsilon>n^{-1/2}$ we show an exponential query-complexity lower bound. In contrast, when $\varepsilon< {1}/{k}$ or under a stronger bounded curvature assumption, we give constant approximation algorithms.

研究の動機と目的

• ε-近似的サブモジュラ関数をカーディナリティ制約の下で最大化する問題を動機づけ、形式化する。
• 一般および特殊な関数クラスに対するエラーレベル ε に対するクエリ複雑性を特徴づける。
• 近似サブモジュラ性のために一定因子近似が可能（かつそれが最適）となる条件を特定する。

提案手法

• ε-近似的サブモジュラ関数 F を、すべての S に対して (1-ε)f(S) ≤ F(S) ≤ (1+ε)f(S) を満たすサブモジュラ代表関数 f によって定義する。
• ε ≥ n^{-1/2} のとき一般の単調サブモジュラ関数に対する指数的クエリ複雑性の下界を導出する（定理3）およびε ≥ n^{-1/3} のときカバレッジ関数に対する下界を導出する（定理4）。
• 正の結果を証明する：ε ≤ δ/k（任意の固定された δ ∈ (0,1) に対して）で貪欲法が (1-1/e - O(δ)) を達成する（定理5）、および有界曲率 c の下で、アルゴリズムは (1-c)( (1-ε)/(1+ε) )^2 を達成する。
• 貪欲法では ε = 1/k のとき一定因子近似を保証しない（命題6）。
• 結果をマトロイド制約へ拡張し、ノイズモデルと PMAC 学習への含意を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーディナリティ制約の下で ε-近似的にサブモジュラ関数を最大化するためのクエリ複雑性はいくつか。
• RQ2 小さな ε および/または有界曲率などの追加構造がある場合に一定因子近似は存在するか。
• RQ3 一般的な単調サブモジュラとカバレッジ関数のような構造化クラスとの下界と上界はどのように異なるか。
• RQ4 Greedy に類似したアルゴリズムの性能に対する ε と k の関係はどう影響するか。
• RQ5 カーディナリティ制約を超えるマトロイド制約へ結果は拡張できるか。

主な発見

• 一般の単調サブモジュラの場合、ε ≥ n^{-1/2} に対して指数的なクエリ複雑性の下界が成り立つ。
• ε ≥ n^{-1/3} のときカバレッジ関数にも指数的なクエリ複雑性の下界が成り立つ。
• ε ≤ δ/k のとき（任意の固定 δ ∈ (0,1)）貪欲法は一定因子近似を与え、 δ → 0 のとき近似比は 1-1/e に近づく。
• 有界曲率 c の下で、任意の ε に対して一定の近似 (1-c)((1-ε)/(1+ε))^2 を達成するアルゴリズムが存在する。
• ε = 1/k の閾値は、貪欲法が一定因子保証を得る上での境界であり、それを超える ε では非一定の性能となることが示される。
• 結果はマトロイド制約にも類似の定数で拡張される（貪欲法の保証は因子分だけ低下する）。