[論文レビュー] Maximizing a Monotone Submodular Function with a Bounded Curvature under a Knapsack Constraint

Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単調な部分加法的関数をナップサック制約のもとで最大化する多項式時間アルゴリズムを提示しており、近似比 $1 - c/e - \epsilon$ を達成する。ここで $c$ は関数の総曲率である。この手法は、曲率に依存する連続的グリーディー法と関数分解を組み合わせることで、曲率が低い場合には古典的な $1 - 1/e$ の境界を上回るより緊密な保証を達成する。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing a monotone submodular function under a knapsack constraint. We show that, for any fixed $ε> 0$, there exists a polynomial-time algorithm with an approximation ratio $1-c/e-ε$, where $c \in [0,1]$ is the (total) curvature of the input function. This approximation ratio is tight up to $ε$ for any $c \in [0,1]$. To the best of our knowledge, this is the first result for a knapsack constraint that incorporates the curvature to obtain an approximation ratio better than $1-1/e$, which is tight for general submodular functions. As an application of our result, we present a polynomial-time algorithm for the budget allocation problem with an improved approximation ratio.

研究の動機と目的

• ナップサック制約下での単調部分加法的関数の最大化のための多項式時間アルゴリズムを開発し、より優れた近似保証を得ること。
• 部分加法的関数の曲率 $c_f$ を近似比に組み込み、標準的な $1 - 1/e$ の境界を上回る性能を達成すること。
• 基数制約およびマトロイド制約における曲率に基づく近似結果を、より一般的なナップサック制約へ拡張すること。
• 曲率が自然に小さいため、実世界の問題（例：予算配分問題）への応用を図ること。

提案手法

• 関数 $f$ を部分加法的関数 $g$ と線形関数 $\ell$ に分解し、$f = g + \ell$ とすることで、曲率に依存する性質を活用する。
• ナップサック制約下での妥当性を保ちつつ、$g$ と $\ell$ を同時に最適化する連続的グリーディー法の変種を用いる。
• 曲率に依存する解析を導入し、$g$ に対して $(1 - 1/e)$-近似が達成され、$\ell$ に対して全値が得られることから、$f$ に対して $1 - c_f/e - \epsilon$-近似が得られることを示す。
• 連続解を離散集合 $S$ に変換するためのサンプリングに基づくラウンディングスキームを導入し、$w(S) \leq 1$ かつ期待値 $\mathop{\mathbf{E}}[f(S)] \geq (1 - c_f/e - \epsilon)f(O)$ を満たすことを保証する。
• $n$（基底集合のサイズ）と $1/\epsilon$ に対して多項式的依存関係を示し、$1/\epsilon$ の多対数的要因を含む計算時間の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナップサック制約下で、単調部分加法的関数の曲率を活用することで、$1 - 1/e$ よりも優れた近似比を達成できるか？
• RQ2 曲率が既知である場合でも、ナップサック制約下での近似比 $1 - c_f/e$ はタイトか？
• RQ3 基数制約およびマトロイド制約における曲率に依存するアルゴリズムを、より一般的なナップサック設定へ拡張可能か？
• RQ4 曲率が小さい場合、予算配分問題に対して $1-1/e$ よりも優れた近似が可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、任意の $\epsilon > 0$ に対して近似比 $1 - c_f/e - \epsilon$ を達成し、$c_f \in [0,1]$ のすべての値に対して $\epsilon$ のオーダーでタイトである。
• 実行時間は $O\left(n^5 + n^4 \cdot \mathrm{polylog}(n) \cdot \left(\frac{1}{\epsilon}\right)^{\mathrm{poly}(1/\epsilon)}\right)$ であり、$n$ および $1/\epsilon$ に対して多項式的である。
• 曲率に基づく近似比 $1 - c_f/e$ は $c_f > 0$ の場合、$1 - 1/e$ よりも厳密に優れており、マトロイド制約問題における既知の下界と一致する。
• 予算配分問題において、曲率 $c_f$ は $1 - \min_{a,b} p(a)^{c(a)-1} \prod_{a' \in \Gamma(b) \setminus \{a\}} p(a')^{c(a')}$ で有界であり、確率と容量が小さい場合に改善された近似が可能になる。
• 関数の曲率が 1 から離れている場合、本アルゴリズムはナップサック制約下での部分加法的関数最大化における古典的な $1 - 1/e$-近似を上回る。