[論文レビュー] Maximizing coverage while ensuring fairness: a tale of conflicting objective

Abolfazl Asudeh, Tanya Berger‐Wolf+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Mathematical Approximation and Integration被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、色分け制約を組み込むことで、選択された集合における色付き要素の分布をバランスさせながら、同時にカバレッジを最大化する組合せ最適化フレームワークを提案する。ランダム化および決定的近似アルゴリズムを提示し、最適カバレッジの少なくとも63％を達成しながら、色の割合を定数要因の範囲内で維持する。これは、対立する目的関数に対しても成立する。

ABSTRACT

Ensuring fairness in computational problems has emerged as a $key$ topic during recent years, buoyed by considerations for equitable resource distributions and social justice. It $is$ possible to incorporate fairness in computational problems from several perspectives, such as using optimization, game-theoretic or machine learning frameworks. In this paper we address the problem of incorporation of fairness from a $combinatorial$ $optimization$ perspective. We formulate a combinatorial optimization framework, suitable for analysis by researchers in approximation algorithms and related areas, that incorporates fairness in maximum coverage problems as an interplay between $two$ conflicting objectives. Fairness is imposed in coverage by using coloring constraints that $minimizes$ the discrepancies between number of elements of different colors covered by selected sets; this is in contrast to the usual discrepancy minimization problems studied extensively in the literature where (usually two) colors are $not$ given $a$ $priori$ but need to be selected to minimize the maximum color discrepancy of $each$ individual set. Our main results are a set of randomized and deterministic approximation algorithms that attempts to $simultaneously$ approximate both fairness and coverage in this framework.

研究の動機と目的

• 最大カバレッジとセット選択における公平性のバランスをとる組合せ最適化フレームワークを定式化すること。
• 選択されたセットにおける色付き要素の公平な分配を確保する一方で、カバレッジを最大化するという二つの目的の対立を扱うこと。
• 色分け制約の下で、両方の目的を同時に近似する近似アルゴリズムを開発すること。
• 解における色比を等比割合に限定するのではなく、任意に事前に指定された色比へと公平性を一般化すること。
• 対立する目的関数が存在する状況下でのカバレッジと公平性のトレードオフについて、理論的保証を提供すること。

提案手法

• 選択されたセットが各色の指定された割合を維持する必要があるχ色を用いた公平な最大カバレッジ（FMC）問題を定式化する。
• 色のカバレッジ数の差を最小化することで、色分け制約を介して公平性を実現する。
• 色分け制約におけるギャップ要因fを有する線形計画（LP）緩和に基づくランダム丸め法を用いる。
• 反復的丸め法と離散化された格子セル上の動的計画法を適用し、最適カバレッジの(1−ε)要因以内で解を近似する。
• マルコフの不等式と和集合の上限を用いた確率的解析により、色の割合が目標比から逸脱する度合いを制限する。
• 探索空間を縮小しながら近似保証を保持するため、拡大された整数格子δ·Z^dを用いた離散化スキームを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの目的が対立する状況下でも、セット選択におけるカバレッジの最大化と公平性の両立は可能か？
• RQ2 FMC問題において、カバレッジと色の割合の両方について、どの程度の近似保証が達成可能か？
• RQ3 色分け制約を用いて、カバーされる各色の要素数をバランスさせるにはどうすればよいか？
• RQ4 高いカバレッジと制限された色の差異を維持する効率的な近似アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ5 このフレームワークは、非一様な目標色比および一般のサブモジュラーオブジェクティブへと拡張可能か？

主な発見

• 提案されたランダム化アルゴリズムは、平均的に最適カバレッジの少なくとも63％を達成し、高い確率で色比を定数要因の範囲内に保つ。
• 任意の定数個の色χに対して、O(log n)回の繰り返し後、高確率で最適カバレッジの(1−ε)近似が保証される。
• すべての色のペアについて、カバーされた要素の比がO(1)であることが保証される。これは、対立する目的関数に対しても成立する。
• LP緩和は、色分け制約において要因fのギャップを生じさせるが、線形計画法を用いてこれを埋めるのは未解決の課題のままである。
• この手法は、公平性を維持しながら最適カバレッジの(1−ε)近似を達成し、実行時間はO((∆/L)^d 2(L/δ)^d (2^{O(d)}k/ε)^d)で有界である。
• このアプローチは、等比割合に限定されず、任意に事前に指定された色比q1, q2, ..., qχへと一般化可能である。