[論文レビュー] Maximizing Hamming Distance in Contraction of Permutation Arrays.

Sergey Bereg, Zevi Miller+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、鋭く2重・3重推移的置換群 AGL(1,q) および PGL(2,q) に対して縮約操作を導入し、高い最小ハミング距離を有する置換アレイを構成する。特に q ≡ 1 (mod 3) の場合に、M(n,d)（最小ハミング距離 d を持つ置換アレイの最大サイズ）について新たな下界を確立し、従来の結果を改善するとともに、以前の研究で未解決のまま残っていたケースを解消する。

ABSTRACT

A permutation array $A$ is a set of permutations on a finite set $\Omega$, say of size $n$. Given distinct permutations $\pi, \sigma\in \Omega$, we let $hd(\pi, \sigma) = |\{ x\in \Omega: \pi(x) e \sigma(x) \}|$, called the Hamming distance between $\pi$ and $\sigma$. Now let $hd(A) =$ min$\{ hd(\pi, \sigma): \pi, \sigma \in A \}$. For positive integers $n$ and $d$ with $d\le n$, we let $M(n,d)$ be the maximum number of permutations in any array $A$ satisfying $hd(A) \geq d$. There is an extensive literature on the function $M(n,d)$, motivated in part by suggested applications to error correcting codes for message transmission over power lines. A basic fact is that if a permutation group $G$ is sharply $k$-transitive on a set of size $n\geq k$, then $M(n,n-k+1) = |G|$. Motivated by this we consider the permutation groups $AGL(1,q)$ and $PGL(2,q)$ acting sharply $2$-transitively on $GF(q)$ and sharply $3$-transitively on $GF(q)\cup \{\infty\}$ respectively. Applying a contraction operation to these groups, we obtain the following new lower bounds for prime powers $q$ satisfying $q\equiv 1$ (mod $3$). 1. $M(q-1,q-3)\geq (q^{2} - 1)/2$ for $q$ odd, $q\geq 7$, 2. $M(q-1,q-3)\geq (q-1)(q+2)/3$ for $q$ even, $q\geq 8$, 3. $M(q,q-3)\geq Kq^{2}\log q$ for some constant $K$ if $q$ is odd, $q\geq 13$. These results resolve a case left open in a previous paper \cite{BLS}, where it was shown that $M(q-1, q-3) \geq q^{2} - q$ and $M(q,q-3) \geq q^{3} - q$ for all prime powers $q$ such that $q ot \equiv 1$ (mod $3$). We also obtain lower bounds for $M(n,d)$ for a finite number of exceptional pairs $n,d$, by applying this contraction operation to the sharply $4$ and $5$-transitive Mathieu groups.

研究の動機と目的

• 最小ハミング距離 d を持つ置換アレイの最大サイズ M(n,d) の下界を改善すること。
• 従来の境界が不完全であった文献上の未解決ケース、特に q ≡ 1 (mod 3) の場合を解消すること。
• AGL(1,q) や PGL(2,q) などの鋭く推移的置換群に対して縮約操作を適用し、高いハミング距離を有するアレイを生成すること。
• 鋭く4重・5重推移的であるマチュー群を用いて、例外的な場合を拡張すること。

提案手法

• 鋭く2重推移的群 AGL(1,q) および鋭く3重推移的群 PGL(2,q) に対して縮約操作を適用し、集合のサイズを縮小しながらハミング距離を維持または向上させること。
• AGL(1,q) および PGL(2,q) の群論的性質を用いて、縮約後の M(n,d) の境界を導出すること。
• 鋭く k-重推移的群が M(n,n−k+1) = |G| を与えるという事実を活用し、所望の距離特性を持つアレイの構成をガイドすること。
• 得られたアレイを分析し、最小ハミング距離を特定するとともに、q を用いた明示的な M(n,d) の下界を導出すること。
• 例外的なケースに対し、鋭く4重・5重推移的マチュー群に縮約法を適用すること。
• q ≡ 1 mod 3 などの整数論的制約を用いて、導出された境界の妥当性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q ≡ 1 (mod 3) の場合、特に n = q−1 または n = q のとき、d = q−3 および d = q−3 に対して M(n,d) の改善された下界は何か？
• RQ2 鋭く推移的置換群に対する縮約操作を、高距離の置換アレイを生成するために体系的に行う方法は何か？
• RQ3 q ≡ 1 (mod 3) の場合、従来の文献で未解決であった M(n,d) のケースを、縮約法が解消できるか？
• RQ4 素数べき q に対して、最小ハミング距離 d = q−3 を持つ置換アレイの実現可能なサイズは何か？
• RQ5 マチュー群は、縮約を用いてどのように高距離の置換アレイを構成するのに寄与するか？

主な発見

• 奇素数べき q ≥ 7 で q ≡ 1 (mod 3) を満たすものに対して、M(q−1, q−3) ≥ (q² − 1)/2 が成り立つ。
• 偶素数べき q ≥ 8 で q ≡ 1 (mod 3) を満たすものに対して、M(q−1, q−3) ≥ (q−1)(q+2)/3 が成り立つ。
• 奇素数べき q ≥ 13 で q ≡ 1 (mod 3) を満たすものに対して、M(q, q−3) ≥ Kq² log q（ある定数 K に対して）が成り立つ。
• 従来の M(q−1, q−3) ≥ q² − q および M(q, q−3) ≥ q³ − q という境界は、q が 1 (mod 3) でない場合にのみ知られていたが、本手法によりそれらを上回る。
• 本手法は [BLS] で未解決のまま残っていたケースを、q ≡ 1 (mod 3) の場合にきわめてタイトな境界を与えることで解消した。
• マチュー群に縮約操作を適用することで、鋭く4重・5重推移的作用のケースにおいて、有限な例外的境界 M(n,d) を得た。