[論文レビュー] Maximizing the number of edges in three-dimensional colored triangulations whose building blocks are balls

Valentin Bonzom|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 57被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、すべての建物ブロックが3球体（3-ball）であるか、たかだか1つのブロックを除いてそうである3次元彩色三角形分割における辺の最大化問題を解決する。辺を最大化する三角形分割が3次元球面（3-sphere）に同相であることを証明し、それらが双対1次スケルトン内の木と一対一に対応することを示す。辺の数は、建物ブロックごとの独立な和として計算される。主な結果は、双対グラフにおける2辺カットを通じた球体に類似したブロックの組合せ的特徴付けである。

ABSTRACT

Colored triangulations offer a generalization of combinatorial maps to higher dimensions. Just like maps are gluings of polygons, colored triangulations are built as gluings of special, higher-dimensional building blocks, such as octahedra, which we call colored building blocks and known in the dual as bubbles. A colored building block is determined by its boundary triangulation, which in the case of polygons is simply characterized by its length. In three dimensions, colored building blocks are labeled by some 2D triangulations and those homeomorphic to the 3-ball are labeled by the subset of planar ones. Similarly to Euler's formula in 2D which provides an upper bound to the number of vertices at fixed number of polygons with given lengths, we look in three dimensions for an upper bound on the number of edges at fixed number of given colored building blocks. In this article we solve this problem when all colored building blocks, except possibly one, are homeomorphic to the 3-ball. To do this, we find a characterization of the way a colored building block homeomorphic to the ball has to be glued to other blocks of arbitrary topology in a colored triangulation which maximizes the number of edges. This local characterization can be extended to the whole triangulation as long as there is at most one colored building block which is not a 3-ball. The triangulations obtained this way are in bijection with trees. The number of edges is given as an independent sum over the building blocks of such a triangulation. In the case of all colored building blocks being homeomorphic to the 3-ball, we show that these triangulations are homeomorphic to the 3-sphere. Those results were only known for the octahedron and for melonic building blocks before. This article is self-contained and can be used as an introduction to colored triangulations and their bubbles from a purely combinatorial point of view.

研究の動機と目的

• すべての建物ブロックが3次元球体（3-ball）に同相であるか、もしくは1つのブロックを除いてそうであるような3次元彩色三角形分割における最大辺数を特定すること。
• このような辺を最大化する三角形分割における3次元球体ブロックの接合構造を特徴付けること。
• 辺を最大化する三角形分割と双対1次スケルトン内の木との間の双対写像を確立すること。
• すべての建物ブロックが3球体である場合、その結果得られる三角形分割が3次元球面に同相であることを示すこと。
• 従来は八面体とメロニックブロックに限られていた結果を、任意の平面的三角形分割を建物ブロックとして一般化すること。

提案手法

• 論文は、彩色三角形分割を辺彩色グラフとして双対表現し、3ブロック（3-bubble）が頂点に対応し、2辺カットが球体に類似したブロックの位相的除去に対応することを用いる。
• 辺の入れ替えと2ダイポール収縮に基づく再帰的議論を適用し、位相同型を保ちつつ辺数を最大化するようにグラフを簡略化する。
• 3ブロック（頂点に対応）にオイラーの公式を適用することで、二色サイクルと成分の genus に関する制約を導出する。
• 辺の入れ替えが特定の条件下で二色サイクル数を保存することを用い、辺を最大化するグラフはすべての3ブロックが平面的（genus 0）でなければならないことを証明する。
• 主な技術的道具は、2辺カットによる位相的移動の特徴付けであり、球体に類似したブロックが双対グラフにおける2辺カットによって接合されている場合に限り、そのブロックを三角形分割から除去可能であることを示す。
• 初期のグラフを既知の球面グラフに変換する一連の位相的移動により、すべてのブロックが球体の場合、全体の三角形分割が球面であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての建物ブロックが3次元球体に同相であるか、1つのブロックを除いてそうである場合、3次元彩色三角形分割で達成可能な最大辺数は何か？
• RQ2 3次元球体ブロックは他のブロックとどのように接合されれば、三角形分割における辺数を最大化できるか？
• RQ3 辺を最大化する性質は、双対1次スケルトンと2辺カットを用いた組合せ的特徴付けとして特徴付けられるか？
• RQ4 どのような条件下で、全体の三角形分割が3次元球面に同相になるか？
• RQ5 辺を最大化する三角形分割と双対グラフ内の組合せ的木との間に一対一対応が存在するか？

主な発見

• 辺を最大化する三角形分割における辺数は、建物ブロックごとの独立な和として与えられ、その寄与は内部構造と境界三角形分割に依存する。
• 3次元球体に同相な建物ブロックは、双対1次スケルトンにおける2辺カットの系列によって除去可能であるように接合されている必要がある。
• すべての建物ブロックが3球体である場合、その結果得られる三角形分割は3次元球面に同相である。
• 辺を最大化する三角形分割は、各ノードが建物ブロックに対応し、各エッジが2辺カット接続に対応する木と一対一に対応する。
• このような三角形分割における3ブロック（頂点に対応）はすべて平面的であり、その genus は0である。これは辺の最大化のための必要条件である。
• この構成は、八面体とメロニックブロックに既に知られていた結果を、任意の平面的三角形分割を建物ブロックとして一般化する。