[論文レビュー] Maximum Flow and Minimum-Cost Flow in Almost-Linear Time

Li Chen, Rasmus Kyng+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2022

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、多項式有界な容量、コスト、需要を備えた有向グラフにおける正確な最大フローおよび最小コストフローを計算する最初のほぼ線形時間アルゴリズムを提示する。近似的に無向最小比サイクルを均等に $m^{o(1)}$ 時間で維持する、革新的な動的グラフデータ構造を活用することで、合計で $m^{1+o(1)}$ 時間の実行時間に達し、$p$-ノルムフロー、エントロピー正則化最適輸送、行列スケーリングを含む一般の凸目的関数に対しても高精度解が得られる。

ABSTRACT

We give an algorithm that computes exact maximum flows and minimum-cost flows on directed graphs with $m$ edges and polynomially bounded integral demands, costs, and capacities in $m^{1+o(1)}$ time. Our algorithm builds the flow through a sequence of $m^{1+o(1)}$ approximate undirected minimum-ratio cycles, each of which is computed and processed in amortized $m^{o(1)}$ time using a new dynamic graph data structure. Our framework extends to algorithms running in $m^{1+o(1)}$ time for computing flows that minimize general edge-separable convex functions to high accuracy. This gives almost-linear time algorithms for several problems including entropy-regularized optimal transport, matrix scaling, $p$-norm flows, and $p$-norm isotonic regression on arbitrary directed acyclic graphs.

研究の動機と目的

• 多項式有界なパrameterを備えた有向グラフにおける正確な最大フローおよび最小コストフローを、決定的かつほぼ線形時間で計算するアルゴリズムの設計。
• 一般エッジ分離凸目的関数（$p$-ノルムフロー、エントロピー正則化最適輸送を含む）に対する高精度解へのアルゴリズムの拡張。
• 内点法と、効率的なサイクル検出および更新を可能にする動的グラフデータ構造を組み合わせることで、先行手法の制限を克服すること。
• 幅広い種類のフローモデルに対して、$m^{1+o(1)}$ 時間計算量を達成し、数十年にわたる既存の境界を著しく改善すること。

提案手法

• アルゴリズムは、各々が動的グラフデータ構造で維持される $m^{1+o(1)}$ 個の近似的な無向最小比サイクルを通じてフローを計算する。
• 新たな動的グラフデータ構造が、低ストレッチ分解とスパarsifiedコアグラフを維持し、各サイクル計算の均等時間計算量を $m^{o(1)}$ に保証する。
• フレームワークは、自己共形バリア関数を用いたポテンシャル削減内点法（IPM）を用い、有向フロー問題を無向問題に還元する。
• 再構築ゲーム戦略により、減少グラフにおけるスパニヤーと埋め込みを動的に維持することで、安定性と効率性を確保する。
• パラメータの制限下でバリア関数のヘッセ行列項が準多項式的に有界であることを確認することで、一般凸目的関数をサポートする。
• 木・チェーン構造とパス埋め込みを通じて、サイクルの質とルーティングの境界を維持し、各サイクルが解を定数倍改善することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式有界なパrameterを備えた有向グラフにおいて、正確な最大フローおよび最小コストフローを $m^{1+o(1)}$ 時間で計算可能か？
• RQ2 このフレームワークは、$p$-ノルムフローおよびエントロピー正則化最適輸送のような一般凸目的関数に対する高精度解に拡張可能か？
• RQ3 エッジの削除や更新の下で、動的グラフデータ構造が均等に $m^{o(1)}$ 時間で近似的な最小比サイクルを維持可能か？
• RQ4 内点法は、スパース化され、減少するグラフ構造に対して、フローモデルで効率的に動作するように適応可能か？
• RQ5 フローフォーミュレーションを介して、行列スケーリングおよび最適輸送問題に対して、ほぼ線形時間計算量を達成可能か？

主な発見

• 本稿は、多項式有界な容量、コスト、需要を備えた有向グラフにおける正確な最大フローおよび最小コストフローを $m^{1+o(1)}$ 時間で計算するアルゴリズムを達成した。
• 有向無閉路グラフにおける $p$-ノルムフローに対して、$m^{1+o(1)}$ 時間で高精度解を計算し、既存の最良アルゴリズムと同等の精度を達成した。
• エントロピー正則化最適輸送および行列スケーリングに対しては、任意の定数 $C>0$ に対して、最適値からの乖離が $\exp(-\log^C m)$ 以内の解を $m^{1+o(1)}$ 時間で計算した。
• 動的データ構造は、各操作あたり均等に $m^{o(1)}$ 時間で近似的な最小比サイクルを維持でき、全体の $m^{1+o(1)}$ 実行時間の実現を可能にした。
• 自己共形バリア関数におけるヘッセ行列項が準多項式的に有界であることを確認することで、一般エッジ分離凸目的関数をサポートした。
• 行列エントリが多項式的に有界な行列に対して、$\mathsf{nnz}(\mathbf{A})^{1+o(1)}$ 時間計算量で、行列スケーリングに対する最初のほぼ線形時間解を達成した。