[論文レビュー] Maximum likelihood degree of Fermat hypersurfaces via Euler characteristics

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルな手法を用いて、Fermat超曲面 $F_{n,d} = \{x_0^d + \cdots + x_n^d = 0\} \subset \mathbb{P}^n$ の最尤度次数（MLD）を計算する。具体的には、座標超平面と和超平面の合併 $Σ$ による $F_{n,d} \setminus \mathcal{H}$ の符号付きオイラー特徴量を用いる。主な結果は、複素数解の個数を数える組合せ的定数 $\beta_{\mu,\nu}$ を用いてMLDを表現し、$d-1$ が素数のべきである場合には閉じた形の式が得られる。

ABSTRACT

Maximum likelihood degree of a projective variety is the number of critical points of a general likelihood function. In this note, we compute the Maximum likelihood degree of Fermat hypersurfaces. We give a formula of the Maximum likelihood degree in terms of the constants $β_{μ, ν}$, which is defined to be the number of complex solutions to the system of equations $z_1^ν=z_2^ν=\cdots=z_μ^ν=1$ and $z_1+\cdots +z_μ+1=0$.

研究の動機と目的

• Fermat超曲面 $F_{n,d}$ の最尤度次数（MLD）を体系的かつ一貫した方法で計算し、従来の個別ケースごとの手法に限界があるのを克服すること。
• 一般MLD公式における非横断的交差の問題を、Milnor数理論による補正項の計算によって解決すること。
• Huhの結果（滑らかな代数的多様体ではMLDが符号付きオイラー特徴量に等しい）を活用し、$F_{n,d} \setminus \mathcal{H}$ のオイラー特徴量に基づくMLDのトポロジカルな公式を確立すること。
• $\beta_{\mu,\nu}$ の明示的公式を提供すること。ここで $\beta_{\mu,\nu}$ は $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ および $z_1 + \cdots + z_\mu + 1 = 0$ を満たす複素数解の個数を表し、特に $d-1$ が素数のべきのときの閉形式を導出すること。
• $\alpha_{\mu,\nu}$ を用いてMLDの計算を数論的・組合せ論的構造と結びつけること。ここで $\alpha_{\mu,\nu}$ は $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ および $z_1 + \cdots + z_\mu = 0$ を満たす解の個数を表す。

提案手法

• 滑らかな射影的多様体に対して、MLDが符号付きオイラー特徴量 $(-1)^n \chi(F_{n,d} \setminus \mathcal{H})$ に等しいというHuhの定理を用いる。
• 包含除法の原理を適用し、$\chi(F_{n,d} \setminus \mathcal{H})$ をインデックス集合 $\Lambda = \{0,\dots,n, +\}$ の部分集合でインデックス付けられた超平面との交差の和として計算する。
• Milnor理論を用いて、$F_{n,d} \cap H_{\Lambda'}$ の特異点を分析し、各孤立特異点のMilnor数が $\beta_{\mu,\nu}$ で数えられる解の個数に等しいことを示す。
• Milnorの結果（孤立な超曲面特異点におけるオイラーの障害は $(-1)^{\dim} (\mu + 1)$ に等しい）を根拠とする。
• $\nu = p^r$ が素数のべきである場合、組合せ的定数 $\beta_{\mu,\nu}$ を対称群の作用と多項係数に翻訳する。
• $\beta_{\mu,\nu} = \frac{1}{\nu} \alpha_{\mu+1,\nu}$ の関係を用いて、問題を $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ および $\sum z_i = 0$ を満たす対称解の個数に再定式化し、群に基づく数え上げを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fermat超曲面 $F_{n,d} \subset \mathbb{P}^n$ が $x_0^d + \cdots + x_n^d = 0$ で定義されるとき、その最尤度次数は何か？
• RQ2 一般公式 [CHKS] が非横断的交差のため失敗する状況において、MLDを体系的に計算する方法は何か？
• RQ3 座標超平面と和超平面との交差によって生じる特異点の正確なトポロジカル寄与は何か？
• RQ4 $\beta_{\mu,\nu} \neq 0$ となる条件は何か？ また、$\nu = p^r$ のとき、$\beta_{\mu,\nu}$ に対して閉じた形の式を得られるか？
• RQ5 $\nu$ が素数のべきのとき、$z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ および $\sum z_i = 0$ を満たす解の個数を数える定数 $\alpha_{\mu,\nu}$ は、多項係数を用いて表現できるか？

主な発見

• Fermat超曲面 $F_{n,d}$ の最尤度次数は、$\operatorname{MLdeg}(F_{n,d}) = \sum_{k=1}^n d^k - \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n+1}{j} \beta_{n-j,d-1}$ で与えられる。ここで $\beta_{\mu,\nu}$ は $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ および $z_1 + \cdots + z_\mu + 1 = 0$ を満たす複素数解の個数を表す。
• $d=2$ のとき、MLDは $\operatorname{MLdeg}(F_{n,2}) = 2^{n+1} - 2$ であり、既知の結果を回復する。
• $n=2$ のとき、$F_{2,d}$ のMLDは $d \mod 6$ に依存する：$d \equiv 0,2 \pmod{6}$ ならば $d^2 + d$、$d \equiv 3,5 \pmod{6}$ ならば $d^2 + d - 3$、$d \equiv 4 \pmod{6}$ ならば $d^2 + d - 2$、$d \equiv 1 \pmod{6}$ ならば $d^2 + d - 5$ である。
• $d-1 = p^r$ が素数のべきであるとき、MLDは多項係数を含む閉じた式で与えられる：$\operatorname{MLdeg}(F_{n,d}) = \sum_{k=1}^n d^k - \frac{1}{d-1} \sum \frac{(n+1)!}{(n+1 - p(s_1+\cdots+s_k))! \cdot \prod_{i=1}^k (s_i!)^p}$。ここで和は非負整数 $s_1,\dots,s_k$ で $\sum s_i \leq \frac{n+1}{p}$ かつ $k = \frac{d-1}{p}$ を満たすものにわたる。
• $\nu = p^r$ のとき、$\beta_{\mu,\nu}$ は $\mu+1$ が $p$ で割り切れない場合には消え、割り切れる場合には多項係数の和として与えられる。
• $\alpha_{\mu,\nu}$（そしてしたがって $\beta_{\mu,\nu}$）の非ゼロ性は、LamとLeungによって特徴付けられている：$\alpha_{\mu,\nu} \neq 0$ であるための必要十分条件は、$\mu$ が $\nu$ の素因数から生成される半群に属することである。