[論文レビュー] Maximum likelihood estimation for Heston models

Mátyás Barczy, Gyula Pap|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続時間観測に基づくヘストン確率的ボラティリティモデルにおける最尤推定量（MLE）の漸近的性質を確立する。3つの状態―準拠的（エルゴード的）、臨界的、過剰的―を分析し、すべての状況においてMLEのほとんど確実収束および漸近正規性を証明する。各状態における明示的な極限分布を導出する。

ABSTRACT

We study asymptotic properties of maximum likelihood estimators for Heston models based on continuous time observations. We distinguish three cases: subcritical (also called ergodic), critical and supercritical.

研究の動機と目的

• 連続時間サンプリング下でのヘストンモデルにおける最尤推定量（MLE）の漸近的挙動を調査すること。
• 平均回帰パラメータに応じて、準拠的（エルゴード的）、臨界的、過剰的の3つの状態に分類された推定挙動を分類すること。
• 3つの状態すべてにおいてMLEのほとんど確実収束および漸近正規性を確立すること。
• 各状態におけるMLEの極限分布を明示的に導出し、推論の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ヘストン確率的ボラティリティモデルを連続時間拡散過程としてモデル化し、潜在的ボラティリティと株価動態はSDEによって支配される。
• エルゴード的拡散過程の大標本理論を用いて、時間枠Tを大きくしたときのMLEの漸近的挙動を分析する。
• 尤度比統計量およびスコア関数を用いて、3つのパrameter状態それぞれにおけるMLEの漸近的分布を導出する。
• マルティンゲール極限定理および関数中央極定理を適用して、MLEが正規分布に分布収束することを確立する。
• 各状態におけるMLEの漸近的分散・共分散行列の明示的表現を導出する。これはモデルパラメータに依存する。
• 平均回帰パラメータの符号に基づいて3つの状態を区別する：負（準拠的）、ゼロ（臨界的）、正（過剰的）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間観測下でのヘストンモデルにおける最尤推定量の漸近的性質は何か？
• RQ2 ヘストンモデルの準拠的、臨界的、過剰的状態におけるMLEの挙動はどのように異なるか？
• RQ3 3つのパrameter状態すべてにおいてMLEはほとんど確実かつ漸近的に正規に収束するか？
• RQ4 各状態におけるMLEの明示的な極限分布は何か？また、これらはモデルパラメータにどのように依存するか？

主な発見

• 最尤推定量は、すべての3つの状態（準拠的、臨界的、過剰的）において、ほとんど確実に一致する。
• 3つの状態すべてにおいてMLEは漸近的に正規分布に従い、極限分布はモデルパラメータおよび状態に明示的に依存する。
• 準拠的状態では、MLEは標準的な √T 速度で収束し、非特異な漸近的分散・共分散行列を有する。
• 臨界的状態では、MLEは依然として分布収束するが、極限分散は退化しており、初期ボラティリティ水準に依存する。
• 過剰的状態では、収束速度は √T より遅く、極限分布は正規でない。これはプロセスの非エルゴード的性質を反映している。
• 本稿では、各状態における漸近的分散の明示的公式を導出し、理論的推論および仮説検定を可能にする。