[論文レビュー] Maximum likelihood estimators for the extreme value index based on the block maxima method

Clément Dombry|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ブロックマキシマ法における極値インデックスおよび正規化定数の最尤推定量（MLE）の理論的基盤を、第一階級極値条件という最小限の仮定の下に確立する。これは、ブロックマキシマが正確に一般化極値（GEV）分布に従うという仮定を必要とせず、MLEの存在および一致性を証明するものである。

ABSTRACT

The maximum likelihood method offers a standard way to estimate the three parameters of a generalized extreme value (GEV) distribution. Combined with the block maxima method, it is often used in practice to assess the extreme value index and normalization constants of a distribution satisfying a first order extreme value condition, assuming implicitely that the block maxima are exactly GEV distributed. This is unsatisfactory since the GEV distribution is a good approximation of the block maxima distribution only for blocks of large size. The purpose of this paper is to provide a theoretical basis for this methodology. Under a first order extreme value condition only, we prove the existence and consistency of the maximum likelihood estimators for the extreme value index and normalization constants within the framework of the block maxima method.

研究の動機と目的

• ブロックマキシマが正確にGEV分布に従うという仮定に依存するが、実際には近似的にしか従わないという事実にもかかわらず、ブロックマキシマ法における最尤推定の広範な使用を正当化すること。
• 基礎となる分布が第一階級極値条件を満たすというより弱い仮定の下で、極値インデックスおよび正規化定数のMLEの存在および一貫性を確立すること。
• 通常はブロックマキシマが正確にGEV分布に従うという仮定のもとでMLEが正当化されるが、実際には近似的にしか従わないという文脈における理論的ギャップを解消すること。

提案手法

• 独立同一分布に従う観測値をサイズmのブロックに分割し、ブロックマキシマM_{k,m}を定義する。
• 一般化極値（GEV）分布の3つのパラメータ（形状γ、位置μ、尺度σ）を推定するために最尤法を適用する。
• GEV分布の対数尤度関数ℓ_{(γ,μ,σ)}(x) = ℓ_γ((x−μ)/σ) − log σ を用いる。
• 第一階級極値条件F ∈ D(G_γ)に依存し、平均超過関数U(t) = (1/(1−F))^{←}(t) の逆関数から導かれる正規化定数a_mおよびb_mを用いる。
• ポッターの不等式および正則変動理論を用いて、正規化されたマキシマの挙動を制御し、一様可積分性を導出する。
• α_nを用いた切断手法を採用し、モーメントの上限を用いて一様性の確保と確率的収束の証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロックマキシマが第一階級極値条件のもとで正確にGEV分布に従わない場合でも、極値インデックスの最尤推定量は一貫性を保つのか？
• RQ2 ブロックマキシマが正確にGEV分布に従うという仮定よりも弱い仮定のもとで、GEV分布に対する標準的なMLEフレームワークは正当化可能か？
• RQ3 ドメインオブアトラクション条件が成り立つ場合、極値インデックスおよび正規化定数のMLEの存在および一貫性を保証する条件は何か？
• RQ4 正規化定数の選択が、第一階級極値条件のもとでのMLEの漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ5 第一階級極値条件のもとで、極値インデックスのMLEは一様可積分性を満たすか？

主な発見

• 極値インデックスγおよび正規化定数の最尤推定量が、第一階級極値条件F ∈ D(G_γ)のもとで存在し、一貫性を示す。ブロックマキシマが正確にGEV分布に従うという仮定は不要である。
• γ₀ > -1 のすべての値に対して一貫性が成立し、従来の漸近正規性を要請するγ₀ > -1/2 よりも広い範囲に拡張される。
• 切断手法と一般化逆関数U(t)におけるポッターの不等式を用いたモーメントの上限により、MLEの一様可積分性が確立される。
• γ₀ > 0 および γ₀ < 0 の場合、正則変動関数におけるポッターの不等式を用いて、正規化されたマキシマの尾部挙動を制御し、可積分性を保証する。
• γ₀ = 0 の場合、正規化されたマキシマの対数近似を用い、ε ∈ (0, 1/p) に対して可積分性が示される。
• lim_{n→∞} m(n)/log n = ∞ という条件が、必要な確率的収束を保証し、MLEの漸近的挙動の妥当性を検証する。