[論文レビュー] Maximum likelihood method and Fisher's information in physics and econophysics

Jacek Syska|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最尤法（MLM）とフィッシャー情報幾何を用いて、物理学およびエコノフィジックスにおける統計的推論の統一的枠組みを構築する。統計的推定、情報幾何、場の理論の間の関係を確立し、構造的情報原理とフィッシャー情報が、量子および古典的場の理論と類似した場の運動方程式を導くことを示している。主な結果として、フィッシャー情報行列が統計的モデルの幾何を規定し、変分原理を介して力学的方程式を導くことが明らかになった。

ABSTRACT

Three steps in the development of the maximum likelihood (ML) method are presented. At first, the application of the ML method and Fisher information notion in the model selection analysis is described (Chapter 1). The fundamentals of differential geometry in the construction of the statistical space are introduced, illustrated also by examples of the estimation of the exponential models. At second, the notions of the relative entropy and the information channel capacity are introduced (Chapter 2). The observed and expected structural information principle (IP) and the variational IP of the modified extremal physical information (EPI) method of Frieden and Soffer are presented and discussed (Chapter 3). The derivation of the structural IP based on the analyticity of the logarithm of the likelihood function and on the metricity of the statistical space of the system is given. At third, the use of the EPI method is developed (Chapters 4-5). The information channel capacity is used for the field theory models classification. Next, the modified Frieden and Soffer EPI method, which is a nonparametric estimation that enables the statistical selection of the equation of motions of various field theory models (Chapter 4) or the distribution generating equations of statistical physics models (Chapter 5) is discussed. The connection between entanglement of the momentum degrees of freedom and the mass of a particle is analyzed. The connection between the Rao-Cramer inequality, the causality property of the processes in the Minkowski space-time and the nonexistence of tachions is shown. The generalization of the Aoki-Yoshikawa sectoral productivity econophysical model is also presented (Chapter 5). Finally, the Frieden EPI method of the analysis of the EPR-Bhom experiment is presented. It differs from the Frieden approach by the use of the information geometry methods.

研究の動機と目的

• 最尤推定（MLE）とフィッシャー情報の物理学およびエコノフィジックスへの応用に理論的基盤を確立すること。
• 特にフィッシャー情報と双対アフィン接続を用いた情報幾何を通じて、統計的モデルの幾何的構造を解明すること。
• 情報理論的原理から場の運動方程式を導出し、統計的モデルの構造が力学的法則を生じることを示すこと。
• 推定理論に根ざした情報に基づく変分原理を通じて、古典的および量子場の理論を統一すること。
• フィッシャー情報行列およびその幾何的性質が、相対論的および量子場の理論と類似した方程式を自然に導くことを示すこと。

提案手法

• 物理学およびエコノフィジックスの統計的モデル、特に指数型分布族に対して最尤法（MLM）を適用する。
• フィッシャー情報を用いて統計多様体上のリーマン計量を定義し、パrameter空間の微分幾何的解析を可能にする。
• 双対アフィン接続（α-接続）および双対パラメータ化間のラプラス変換の概念を導入する。
• 推定精度の基本的限界を示すクラメール・ラオ不等式およびその多次元形式を導出する。
• 最小フィッシャー情報（または最大エントロピー）の原理を適用し、クライン＝ゴルドン型およびディラック型方程式を含む場の運動方程式を導出する。
• 情報幾何的アプローチを用いてマスター方程式を導出し、確率過程および場のダイナミクスと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最尤法を物理的およびエコノフィジカルモデルに体系的に適用する方法は何か？
• RQ2 フィッシャー情報は、物理学およびエコノフィジックスにおける統計的モデルの幾何を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 最小フィッシャー情報などの情報理論的原理から、古典的および量子場の理論の場の運動方程式を導出できるか？
• RQ4 情報幾何における双対パラメータ化およびα-接続は、物理的対称性および保存則とどのように関係するか？
• RQ5 フィッシャー情報行列と場のダイナミクス（特に相対論的場の理論の文脈において）の間の関係は何か？

主な発見

• フィッシャー情報行列は統計多様体上にリーマン計量を定義し、統計的推論の幾何的定式化を可能にする。
• クラメール・ラオ不等式はスカラーおよび多次元形式の両方で導出され、パrameter推定精度の基本的限界を確立する。
• 最小フィッシャー情報の原理の下で最尤法を適用すると、場の理論における変分原理から導かれるのと同じ場の運動方程式が得られる。
• 指数型分布族において、適切なパラメータ化のもとで情報幾何的構造は自然にクライン＝ゴルドン方程式およびディラック方程式を導く。
• 双対アフィン構造（α-接続）および双対座標間のラプラス変換は、場的理論的モデルにおける統計的推論の幾何的基盤を提供する。
• 本稿は、情報幾何的アプローチが推定理論、情報幾何、場の理論を統合する枠組みを提供することを示しており、情報原理から導かれる相対論的場の運動方程式の文脈において特に顕著である。