[論文レビュー] Maximum-Likelihood Network Reconstruction for SIS Processes is NP-Hard

Bastian Prasse, Piet Van Mieghem|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、連続時間SIS感染症プロセスにおける最尤推定によるネットワーク再構築が、感染率および回復率が既知であってもNP困難であることを証明している。著者らは、既知のNP完全問題である最大カット問題からSISネットワーク再構築問題への多項式時間還元を構築することで、ウイルス状態の観測から真のネットワークトポロジーを推定することは、任意の連結グラフにおいて計算的に非効率であることを示している。

ABSTRACT

The knowledge of the network topology is imperative to precisely describing the viral dynamics of an SIS epidemic process. In scenarios for which the network topology is unknown, one resorts to reconstructing the network from observing the viral state trace. This work focusses on the impact of the viral state observations on the computational complexity of the resulting network reconstruction problem. We propose a novel method of constructing a specific class of viral state traces from which the inference of the presence or absence of links is either easy or difficult. In particular, we use this construction to prove that the maximum-likelihood SIS network reconstruction is NP-hard. The NP-hardness holds for any adjacency matrix of a graph which is connected.

研究の動機と目的

• 観測されたウイルス状態トレースに基づいて、SIS感染症プロセスにおける最尤推定（ML）によるネットワーク再構築の計算複雑性を特定すること。
• SISプロセスにおけるML推定問題が、実行可能か、あるいは計算的に困難であるかを調査すること。
• SISネットワーク再構築と既知のNP困難問題との間の正式な関係を確立すること。
• 任意の連結グラフにおいて、MLネットワーク再構築問題がNP困難のままであることを証明すること。

提案手法

• 特定のクラスのウイルス状態トレースを構築し、その中からネットワーク内のリンクの有無を推定可能であることを示す。
• 既知のNP完全問題である最大カット問題から、ML SISネットワーク再構築問題への多項式時間還元を用いる。
• ML推定問題を解くことは、NP困難であるゼロ・オール・アンコンストレインド・クアドラティック・プログラミング（UQP）を解くことと同等であることを示す。
• 対数尤度の目的関数を、特定のパrameter設定下でUQPに類似した形に変換する正式な変換を適用し、同等性を示す。
• 漸近的解析とパrameterチューニング（例：遷移回数および確率）を用いて、ML解が最大カット問題の解と一致することを保証する。
• 補題を用いて、構築されたトレースにおいて既知のリンク状態をML推定が保持する必要があることを示し、問題を部分エッジの上でのコア最適化問題に簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SISプロセスにおける最尤推定によるネットワーク再構築問題は、計算的に実行可能か？
• RQ2 SISネットワーク再構築問題は、既知のNP困難問題に還元可能か？
• RQ3 SIS再構築のNP困難性は、すべての連結グラフに共通して成立するか？
• RQ4 SIS再構築における対数尤度目的関数とゼロ・オール・アンコンストレインド・クアドラティック・プログラミング（UQP）の定式化との関係は何か？
• RQ5 最大カット問題を解くことと同等になるように、ウイルス状態トレースを設計可能か？

主な発見

• 任意の連結隣接行列に対して、最尤推定によるSISネットワーク再構築問題はNP困難である。
• 最大カット問題からML推定問題への多項式時間還元により、NP困難性が確立されている。
• SIS再構築問題における対数尤度目的関数は、ゼロ・オール・アンコンストレインド・クアドラティック・プログラミング（UQP）と同等にできる。UQPはNP困難である。
• 還元は、グラフの具体的な構造に依存せず、連結であれば常に成立する。
• ウイルス状態トレースを適切に構築すれば、ML推定問題の解は最大カット問題の制約を満たす必要がある。
• 感染率および回復率が既知であり、かつネットワークが無向かつ重みなしであっても、計算的非効率性は継続する。