[論文レビュー] Maximum likelihood quantum state tomography is inadmissible

Christopher Ferrie, Robin Blume-Kohout|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、量子状態トモグラフィーにおける最尤推定（MLE）が、忠実度、平均二乗誤差（ヒルバート＝シュミット距離）、相対エントロピーといった一般的な精度指標において、不適切であることを示している。純粋状態を報告する推定量が、常に純粋状態を避ける「ヘッジド」推定量に劣ることを示唆することで、著者たちはMLEが広く用いられてはいるが、統計的根拠を持つにもかかわらず、ほぼすべての状況で最適でないことを証明している。

ABSTRACT

Maximum likelihood estimation (MLE) is the most common approach to quantum state tomography. In this letter, we investigate whether it is also optimal in any sense. We show that MLE is an inadmissible estimator for most of the commonly used metrics of accuracy, i.e., some other estimator is more accurate for every true state. MLE is inadmissible for fidelity, mean squared error (squared Hilbert-Schmidt distance), and relative entropy. We prove that almost any estimator that can report both pure states and mixed states is inadmissible. This includes MLE, compressed sensing (nuclear-norm regularized) estimators, and constrained least squares. We provide simple examples to illustrate why reporting pure states is suboptimal even when the true state is itself pure, and why "hedging" away from pure states generically improves performance.

研究の動機と目的

• 標準的な精度指標の下で、量子状態トモグラフィーにおける最尤推定（MLE）が最適であるかどうかを調査すること。
• 純粋状態を報告する推定量が、他の推定量に常に劣ることはあるかを特定すること。
• 統計的意思決定理論において、MLEおよび類似の推定量が不適切となる条件を確立すること。
• 解析的および数値的例を通じて、純粋状態を避けることで推定精度が向上することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、忠実度、ヒルバート＝シュミット距離、相対エントロピーという指標に基づくリスク関数に基づいて、推定量を統計的意思決定理論によって評価する。
• 最大混合状態に向かってわずかな摂動を加えることで、純粋状態を体系的になくす「ヘッジド」推定量を構築する。
• 4つのパウリ測定を持つリビットモデルに対して、ヒルバート＝シュミットリスクを解析的に計算し、MLEとヘッジド推定量を比較する。
• さまざまな標本サイズ（N=10から100）における、すべての3つのパウリ測定を含む完全なキュービットモデルに分析を拡張する。
• 標本サイズ間の比較を可能にするために、リスク差をNでスケーリングし、対称性軸（Z軸および(1,1,1)軸）に沿ってプロットする。
• データと両立する2つの異なる純粋状態を報告する任意の推定量は、指定された指標の下で不適切であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な量子状態トモグラフィー誤差指標の下で、最尤推定は不適切であるか？
• RQ2 すべての真の量子状態に対して、純粋状態を報告する推定量が、他の推定量に厳密に劣る可能性はあるか？
• RQ3 MLEおよび関連手法における純粋状態の報告という習慣が、性能の劣化を引き起こすのか？
• RQ4 最大混合状態に向かう単純な摂動が、普遍的に推定精度を向上させるのか？
• RQ5 MLEが一般には不適切であるにもかかわらず、解析的または数値的条件下でMLEが適切となるケースはあるか？

主な発見

• MLEは忠実度指標において不適切である。これは、すべての真の量子状態に対して、より良い性能を示す別の推定量が存在することを意味する。
• 平均二乗誤差（二乗ヒルバート＝シュミット距離）および相対エントロピー指標に対しても、同様に不適切である。
• 純粋状態を避けるヘッジド推定量は、全テスト標本サイズ（N=4から100）において、MLEおよび制約付き最小二乗法を常に上回る性能を示す。
• N=4のリビットモデルにおいて、ヘッジド推定量は、r=(0,1)におけるリスクの解析的計算により、あらゆる場所でヒルバート＝シュミットリスクを低減することが確認された。
• すべてのNにおいてスケーリングされたリスク差が正のまま維持され、ヘッジド推定量がブロッホ球のZ軸および(1,1,1)軸に沿って支配的であることが示された。
• データと両立する2つの異なる純粋状態を報告できる任意の推定量は、研究された3つの指標の下で不適切である。