[論文レビュー] Maximum norm error estimates for the finite element approximation of parabolic problems on smooth domains

Takahito Kashiwabara, Tomoya Kemmochi|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかで、非凸である可能性のある領域における非同次ノイマン境界条件を有する放物型問題に有限要素法を適用した際の最大ノルム誤差推定を確立する。滑らかな領域 $\Omega$ を多角形領域 $\Omega_h$ で近似することで、$O(h^2|\log h|)$ の収束率を示す $L^\infty$ 誤差推定を導出している。これは高次元有限要素に対しても成立するが、非ゼロの対称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ のため、最良の $O(h^{k+1})$ の収束率は達成されない。解析では境界のチューブ型近傍を導入し、領域近似誤差を扱い、離散的スムージングおよび最大正則性性質を補足として確立している。

ABSTRACT

In this paper, we consider the finite element approximation for a parabolic problem on a smooth domain $Ω\subset \mathbb{R}^N$ with the inhomogeneous Neumann boundary condition. We emphasize that the domain can be non-convex in general. We implement the finite element method for this problem by constructing a family of polygonal or polyhedral domains $\{ Ω_h \}_h$ that approximate the original domain $Ω$. The main result of this study is the $L^\infty$-error estimate for this approximation. We shall show that the convergence rate is not optimal for higher order elements since the symmetric difference $Ω\bigtriangleup Ω_h$ is not empty in general. In order to address the effect of the symmetric difference of domains, we introduce the tubular neighborhood of the original boundary $\partialΩ$. We will also present a slightly new approach to establish the $L^\infty$-error estimate. Moreover, we present the smoothing property for the discrete parabolic semigroup and the spatially discretized maximal regularity as corollaries of the main result.

研究の動機と目的

• 滑らかで、非凸である可能性のある領域における放物型問題の有限要素近似の $L^\infty$ 誤差推定を導出すること。
• 多角形部分領域 $\Omega_h$ を用いた領域近似が最大ノルムにおける収束率に与える影響を分析すること。
• 半離散有限要素スケームにおける離散的スムージングおよび最大正則性性質を確立すること。
• 境界のチューブ型近傍を用いて、対称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ の影響を評価すること。

提案手法

• 滑らかな領域 $\Omega$ を境界 $\partial\Omega$ 上の頂点配置により近似する多角形または多面体領域の族 $\{\Omega_h\}$ を構築する。
• $\Omega_h$ 上の適合的で、形状が良好かつ準均一な三角形分割 $\mathcal{T}_h$ を用い、$P^k$-有限要素空間 $V_h \subset H^1(\Omega_h)$ を定義する。
• 拡張されたデータ $\tilde{f}$, $\tilde{g}$ および初期データ $u_{h,0}$ を用いた弱形式に基づく半離散有限要素スキーム (1.2) を定式化する。
• 対称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ によって生じる誤差を定量化・制御するために、$\partial\Omega$ のチューブ型近傍を導入する。
• グリーン関数解析および放物型二分法に基づく、$L^\infty$ 誤差推定の新規アプローチを適用する。
• 主誤差推定の帰結として、離散的スムージングおよび最大正則性推定 (1.5) および (1.6) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな領域上で、多角形部分領域による領域近似がなされる場合、放物型問題の有限要素近似における最適な $L^\infty$ 収束率は何か？
• RQ2 対称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ は、特に高次元有限要素の場合に $L^\infty$ 誤差推定にどのように影響を与えるか？
• RQ3 非ゼロの境界スキン層を有する領域近似のもとで、離散的放物型セミグループおよび離散的最大正則性性質を確立できるか？
• RQ4 境界 $\partial\Omega$ のチューブ型近傍は、最大ノルムにおける領域近似誤差の定量化にどの程度寄与するか？
• RQ5 $\Omega_h = \Omega$ を仮定しないで $L^\infty$ 誤差推定を導出できるか。その場合の収束率は何か？

主な発見

• 半離散有限要素スキームの $L^\infty$ 誤差推定は、$\|\tilde{u} - u_h\|_{L^\infty(Q_{h,T})} \leq C h^{k+1} |\log h|^{\underline{k}} \|u\|_{L^\infty(0,T;W^{k+1,\infty}(\Omega))} + C h^2 |\log h| \left(\|u_t\|_{L^\infty(Q_T)} + \|u\|_{L^\infty(0,T;W^{2,\infty}(\Omega))}\right)$ であり、$\underline{k} = 1$ が $k=1$ の場合、それ以外は $0$ である。
• 非ゼロの対称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ のため、高次元要素であっても収束率は $O(h^2 |\log h|)$ に制限され、最良の $O(h^{k+1})$ の収束率は達成されない。
• 離散的放物型セミグループは、ゼロの強制力および境界データのもとで、すべての $t > 0$ および $q \in [1, \infty]$ に対して、$\|u_h(t)\|_{L^q(\Omega_h)} + t\|\partial_t u_h(t)\|_{L^q(\Omega_h)} \leq C e^{-ct} \|u_{h,0}\|_{L^q(\Omega_h)}$ を満たす。
• 初期および境界データがゼロのとき、離散的最大正則性推定 $\|A_h u_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))} + \|\partial_t u_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))} \leq C \|f_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))}$ は $p,q \in (1,\infty)$ に対して成立する。
• 境界スキン層の影響は摂動として取り扱われ、離散的設定において標準的なスムージングおよび最大正則性推定が回復可能である。
• 領域近似の存在下でグリーン関数の不滑らかさおよびその時間微分を厳密に取り扱い、$L^p$ 空間内での可積分性および有界性の結果が得られた。