[論文レビュー] Maximum occupation time of a transient excited random walk on Z

Reza Rastegar, Alexander Roitershtein|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、整数格子 ℤ 上の非再帰的きゅうりランダムウォークにおける、最も訪問回数の多いサイトでの最大訪問時間の漸近的挙動を研究する。分岐過程のカップリングと極限定理を用いて、時間の経過にかかわらず、典型的なランダムウォークとは対照的に、その好まれるサイトに正の時間割合を費やさないことを証明する。

ABSTRACT

We consider a transient excited random walk on $Z$ and study the asymptotic behavior of the occupation time of a currently most visited site. In particular, our results imply that, in contrast to the random walks in random environment, a transient excited random walk does not spend an asymptotically positive fraction of time at its favorite (most visited up to a date) sites.

研究の動機と目的

• 非再帰的きゅうりランダムウォークにおける、現在最も訪問回数の多いサイトでの訪問時間の長期的ダイナミクスを理解すること。
• このようなウォークが、標準的なランダムウォークとは対照的に、最も頻繁に訪問されるサイトに正の漸近的時間割合を費やすかどうかを特定すること。
• さまざまなきゅうり環境パラメータの下での最大訪問時間の極限定理を確立すること。
• アンネールドドリフトパラメータ δ が訪問時間の漸近的挙動に与える役割を分析すること。
• 最大訪問時間が時間に対して非線形的に増加することを証明し、好まれるサイトに正の時間割合を費やさないことを示すこと。

提案手法

• 各サイトに M 個のきゅうりを配置し、最初の M 回の訪問時に方向性のバイアスを誘発するように、ℤ 上のきゅうりランダムウォークをモデル化する。
• 各サイトに独立同分布のきゅうりの積み上げが与えられるランダムなきゅうり環境下でのパスの挙動を、クエンチドおよびアンネールド測度を用いて分析する。
• 局所的訪問回数の進化を追跡し、極限定理を導出するために、分岐過程とのカップリングを適用する。
• Borel-Cantelli の補題と再生理論を用いて、最大訪問時間の limsup 挙動を分析する。
• δ > 1 に対して、φ(n) = n^{1/δ}(log n)^{-α}（α > 1/δ）を用いた漸近的境界を導出する。
• 収束および発散の基準を用いて、φ(n) に対する最大訪問時間の limsup および liminf 挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ 上の非再帰的きゅうりランダムウォークは、最も訪問回数の多いサイトに正の漸近的時間割合を費やすか？
• RQ2 最大訪問時間は時間に対してどのように増加するのか？また、アンネールドドリフト δ はどのような役割を果たすか？
• RQ3 異なるパrameter レギーム下で、現在最も訪問回数の多いサイトでの訪問時間の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 分岐過程の近似と極限定理を用いて最大訪問時間を特徴づけられるか？
• RQ5 最大訪問時間が任意の非線形関数よりも速く増加する条件は何か？

主な発見

• 最も訪問回数の多いサイトでの最大訪問時間は、時間に対して非線形的に増加するため、好まれるサイトに正の時間割合を費やさない。
• δ > 1 のとき、φ(n) = n^{1/δ}(log n)^{-α} に対する最大訪問時間の limsup は、∑ 1/[φ(m)]^δ = ∞ ならばほとんど確実に無限大である。
• ∑ 1/[φ(m)]^δ < ∞ のとき、正規化された最大訪問時間の limsup はほとんど確実に有限である。
• きゅうり環境に対してやや弱い非退化性仮定のもとで、δ は各サイトあたりのアンネールド総ドリフトである。
• 証明は、分岐過程とのカップリングと Borel-Cantelli の議論に依拠し、訪問回数の増加を制御する。
• δ > 2 のとき、ウォークの漸近的スピードは正であり、これが解析における時間スケーリングに影響を与える。