[論文レビュー] Maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base and polynomial subsequences

Damien Jamet, Pierre Popoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ゼッケンドルフ基数における桁の和関数の最大順序複雑性の下界を確立し、それが自己相似的（モーフィック）な系列であることを示し、その多項式部分列が高めの最大順序複雑性を維持することを示している。これは、トゥエ＝モルス系列と同様の性質である。結果として、自動的でないにもかかわらず予測不能性を保つような系列が得られ、多項式の希釈（rarefaction）に対しても複雑性が強く保たれるため、暗号用擬似乱数系列の強力な候補となることが示された。

ABSTRACT

Automatic sequences are not suitable sequences for cryptographic applications since both their subword complexity and their expansion complexity are small, and their correlation measure of order 2 is large. These sequences are highly predictable despite having a large maximum order complexity. However, recent results show that polynomial subsequences of automatic sequences, such as the Thue--Morse sequence, are better candidates for pseudorandom sequences. A natural generalization of automatic sequences are morphic sequences, given by a fixed point of a prolongeable morphism that is not necessarily uniform. In this paper we prove a lower bound for the maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base which is an example of a morphic sequence. We also prove that the polynomial subsequences of this sequence keep large maximum order complexity, such as the Thue--Morse sequence.

研究の動機と目的

• ゼッケンドルフ基数における桁の和関数の最大順序複雑性を分析すること。
• この系列の多項式インデックスに沿った部分列が、高めの最大順序複雑性を維持するかどうかを調査すること。
• トゥエ＝モルス系列のような既知の擬似乱数系列と比較して、この系列の複雑性の挙動を検討すること。
• 最大順序複雑性の段階関数における構造的・数値的パターン、特に段階比の収束を特定すること。
• モーフィック系列およびその希釈形が、暗号用擬似乱数系列としての強力な候補であるという理論的・計算的証拠を提供すること。

提案手法

• 著者らは、系列の最初の $N$ 項を生成できる最短のフィードバックシフトレジスタ長として、$N$ 番目の最大順序複雑性 $M(\mathcal{S}, N)$ を定義し、計算している。
• 直接的非巡回重み付きグラフ（DAWG）アルゴリズムを用いて、線形時間および線形記憶量で最大順序複雑性を効率的に計算している。
• ゼッケンドルフ基数における桁の和関数およびその多項式インデックス（例：平方数、立方数）に沿った部分列の最大順序複雑性の挙動を分析している。
• 高性能クラスタ（yeti）を用いた計算実験により、$10^9$ 項まで複雑性を計算し、段階のパターンと段階比の収束を観察している。
• 最大順序複雑性関数における連続する段階の比の漸近的収束について、定数（例：2 や黄金比 $\varphi$）への収束に関する予想を提示している。
• 複雑性挙動を文脈化するために、トゥエ＝モルス系列やアプウェニアン系列といった既知の系列と比較している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼッケンドルフ基数における桁の和関数は、$N$ と共に増加する最大順序複雑性の下界を示すか？
• RQ2 このモーフィック系列の多項式部分列は、トゥエ＝モルス系列と同様に、大きな最大順序複雑性を維持するか？
• RQ3 最大順序複雑性関数における段階比の観察された収束に、構造的要因または表記体系に基づく説明は可能か？
• RQ4 予測可能性および暗号的適合性の観点から、この系列の最大順序複雑性は自動的系列と比べてどう異なるか？
• RQ5 最大順序複雑性の段階関数は、ゼッケンドルフ基数における黄金比のような表記体系に関連するより深いパターンを明らかにできるか？

主な発見

• ゼッケンドルフ基数における桁の和関数は、$N$ と共に増加する最大順序複雑性を示し、非自明な下界を確立している。
• 平方数や立方数に沿ったこの系列の多項式部分列は、依然として高い最大順序複雑性を維持しており、強い擬似乱数性を示している。
• ゼッケンドルフ基数における桁の和関数の最大順序複雑性関数における連続する段階の比は、黄金比 $\varphi \approx 1.618$ に収束するように見える。
• トゥエ＝モルスに類似した系列では、連続する段階の比が2に収束するため、表記体系に起因する普遍的挙動が示唆され、自動性とは独立した性質である。
• $10^9$ 項まで計算された証拠により、段階比の収束に関する予想が支持されているが、より明確なトレンドを確認するにはさらなる計算が必要である。
• 結果として、モーフィック系列およびその多項式的希釈形は、自動的系列よりも最大順序複雑性の観点でより強固であることが示され、暗号用途においてより優れた候補であると考えられる。