[論文レビュー] Maximum Principle and Data Assimilation Problem for the Optimal Control Problems Governed by 2D Nonlocal Cahn-Hillard-Navier-Stokes Equations

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程式に従う最適制御問題に対して、Ekeland の変分原理を用いてポントレヤーギンの最大原理を確立し、一次の必要条件を導出する。さらに、最適制御技術を用いて未知の初期データを回復するためのデータ同化問題を定式化し、最適初期制御が時間ゼロにおける共役状態の負として特徴付けられる。

ABSTRACT

We study some optimal control problems associated to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two-dimensional bounded domain. The Cahn- Hilliard-Navier-Stokes model consists of a Navier-Stokes equation governing the fluid velocity field coupled with a convective Cahn-Hilliard equation for the relative concentration of one of the fluids. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard- Navier-Stokes equations. We establish the first-order necessary conditions of optimality by proving the Pontryagin's maximum principle for optimal control of such system via the seminal Ekeland variational principle. The optimal control is characterized using the adjoint variable. We also study an another control problem which is similar to data assimilation problems in meteorology of obtaining unknown initial data. Considering the same underlying system as above we establish the optimal initial data in terms of the corresponding adjoint variable.

研究の動機と目的

• 2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程式に従う分布型最適制御問題の一次の必要条件を確立すること。
• Ekeland の変分原理を適用し、このクラスの非局所的・非線形的・結合された PDE システムに対してポントレヤーギンの最大原理を導出すること。
• 同じシステムにおける未知の初期データを回復するためのデータ同化問題を定式化・解析すること。
• 最適初期制御を時間ゼロにおける共役状態の負として特徴付けること。
• 適切な関数空間における共役系の解の存在性と正則性を証明し、最適性条件の適切な定式化を保証すること。

提案手法

• 非対称的かつ非局所的な相互作用を畳み込み核 $\mathrm{J}$ を通じて持つ非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes システムに従う、コスト関数を最小化する分布型最適制御問題を定式化する。
• Ekeland の変分原理を適用し、ポントレヤーギンの最大原理の形で一次の必要条件を導出する。
• 速度および濃度方程式に対応する共役変数 $\mathbf{p}$ と $\eta$ を含む、時間反転のPDEから成る共役系を導入する。
• 共役解の正則性を確立する：$\mathbf{p} \in \mathrm{C}([0,T];\mathbb{V}_{\text{div}}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathbb{H}^2)$ および $\eta \in \mathrm{C}([0,T];\mathrm{V}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathrm{H}^2)$ であり、これは強い解を保証する。
• エネルギー推定とGrönwallの不等式を用いて共役変数を時間的に一様に有界に抑え、その連続性と可積分性を証明する。
• 最適初期制御を $\mathrm{U}^* = -\mathbf{p}(0)$ と特徴付け、$\mathbf{p}(0) \in \mathbb{V}_{\text{div}}$ であることを示し、制御と共役状態の初期値を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes システムの分布型最適制御に対する一次の必要条件は何か？
• RQ2 Ekeland の変分原理は、このクラスの非局所的・結合的・非線形 PDE システムに対して最大原理をどのように導出できるか？
• RQ3 最適制御技術を用いて、このシステムの初期データを回復できるか。また、流体力学におけるデータ同化とどのように関連するか？
• RQ4 最適制御問題に関連する共役系の正則性と構造は何か？
• RQ5 最適初期制御は、時間ゼロにおける共役状態のどのようないくつか？

主な発見

• Ekeland の変分原理を用いて、2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程式の最適制御に対してポントレヤーギンの最大原理を厳密に確立した。
• 最適制御は $\mathrm{U}^* = -\mathbf{p}(0)$ と特徴付けられ、ここで $\mathbf{p}$ は共役系の解であり、$\mathbf{p}(0) \in \mathbb{V}_{\text{div}}$ である。
• 共役状態 $\mathbf{p}$ は $\mathrm{C}([0,T];\mathbb{V}_{\text{div}}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathbb{H}^2)$ に属し、$\eta$ は $\mathrm{C}([0,T];\mathrm{V}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathrm{H}^2)$ に属するため、強い正則性が保証される。
• エネルギー推定とGrönwallの不等式を用いて、共役変数が時間的に一様に有界であることを証明し、その有界性は状態変数の正則性および核 $\mathrm{J}$ に依存する。
• データ同化問題は、未知の初期データを回復するための最適制御問題として定式化され、最適初期制御は $t=0$ における共役状態から導出される。
• 解析により、共役系の適切な定式化が確認され、一意な最適制御トリプレット $ (\mathbf{u}^*, \varphi^*, \mathrm{U}^*) \in \mathscr{A}_{\text{ad}} $ の存在が保証された。