[論文レビュー] Maximum principle for viscosity solutions on Riemannian manifolds

Shigē Péng, Detang Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体上の2階偏微分方程式に対して、粘性解に基づく最大原理を確立し、オモリとヤウの古典的結果を一般化する。曲率の下界による制約のもとで、距離関数の2乗のヘッセ行列およびラプラシアンの鋭い推定を導出し、コンパクトかつ完備な多様体上での楕円型および放物型方程式に対する比較定理を証明する。楕円型の場合には曲率制約なしに、放物型の場合には有界性条件のもとで、下解・上解の順序が保証される。

ABSTRACT

In this work we consider viscosity solutions to second order partial differential equations on Riemannian manifolds. We prove maximum principles for solutions to Dirichlet problem on a compact Riemannian manifold with boundary. Using a different method, we generalize maximum principles of Omori and Yau to a viscosity version.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間からリーマン多様体への粘性解理論を拡張すること。
• 多様体上での距離関数の非滑らかさと複雑なヘッセ構造の困難を克服すること。
• 楕円型の場合に曲率制約なしに、コンパクトおよび完備なリーマン多様体上での2階PDEの粘性解に対する最大原理を確立すること。
• オモリ＝ヤウの最大原理を、リーマン多様体上での粘性解枠組みに一般化すること。
• 境界付きコンパクト多様体上での放物型方程式に対して、下解・上解の順序が保証される比較定理を証明すること。

提案手法

• 断面曲率が下から有界な多様体上での距離関数の2乗 $\frac{1}{2}\mathrm{d}(x,y)^2$ の鋭いヘッセ行列推定を導出する。
• リッチ曲率の下界がある場合の同じ関数に対するラプラシアン型推定を確立する。
• 非コンパクト性および非滑らか性に対処するために、テスト関数に $\frac{\alpha}{2}\mathrm{d}(x,y)^2$ を組み込むことで、イシイ＝ライオンズ法を粘性解に適応する。
• 正則化のために $\varepsilon/(T-t)$ を用いた摂動技術を導入し、放物型問題に比較原理を適用する。
• ジェットと曲率依存モジュラス $\omega$ を用いた一般化された比較原理により、近接する点における $F$-値の差を制御する。
• 平行移動と双対写像 $\iota$ を用いて、多様体上の異なる点 $x$ と $y$ におけるジェットを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率制約なしに、リーマン多様体上での粘性解の古典的最大原理を拡張することは可能か？
• RQ2 下界のある曲率を持つ多様体上での距離関数のヘッセ行列をどのように推定すれば、比較定理を可能にするか？
• RQ3 演算子 $F$ にどのような条件を課すと、境界付きコンパクトリーマン多様体上での粘性下解が上解以下に保たれるか？
• RQ4 完備リーマン多様体上での粘性解枠組みに、オモリ＝ヤウの最大原理を一般化できるか？
• RQ5 境界付きコンパクト多様体上での放物型方程式に対して、粘性法を用いて比較原理をどのように確立するか？

主な発見

• 境界付きまたは境界なしのコンパクトリーマン多様体上において、曲率制約なしに、オモリ＝ヤウの最大原理の粘性解版が確立された。
• 一般条件 (H) を満たす場合に楕円型方程式の比較定理が成り立つ。この条件ではモジュラス $\omega$ と正の定数 $\beta$ を含み、$u_1 \leq u_2$ が $\partial M$ 上で成り立つならば、$\bar{M}$ 上で $u_1 \leq u_2$ が保証される。
• 境界付きコンパクト多様体上での放物型方程式に対して、$u$ と $v$ の有界性および正則性条件のもとで、比較原理が成り立つ。$u \leq v$ が放物的境界上で成り立つならば、$[0,T] \times \bar{M}$ 上で $u \leq v$ が保証される。
• 非滑らか性を $\frac{\alpha}{2}\mathrm{d}(x,y)^2$ を含む正則化されたテスト関数を用いることで効果的に処理でき、$\alpha \to \infty$ の極限で消える。
• 差の制御に鍵となる推定 $\omega(\alpha \mathrm{d}(x,y)^2 + \mathrm{d}(x,y))$ が得られ、$\alpha \to \infty$ のとき矛盾を引き起こし、比較結果の証明に繋がる。
• 古典的粘性理論をリーマン幾何に一般化し、$G$-ブラウン運動に由来する非線形PDEの研究を可能にする。