[論文レビュー] Maximum principles and monotonicity of solutions for fractional p-equations in unbounded domains

Zhao Liu, Wenxiong Chen|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、解の漸近的挙動に関する仮定を必要とせずに、非有界領域における分数階pラプラシアン方程式に対して最大原理を確立する。非線形性および非局所性を有する作用素を取り扱うための新規な技術を導入することで、スライディング法を用いて解の単調性および一意性を証明し、従来の線形または局所的作用素に関する研究と比較して、非線形関数fおよび領域Ωに対する条件を顕著に弱める。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following non-linear equations in unbounded domains $Ω$ with exterior Dirichlet condition: \begin{equation*}\begin{cases} (-Δ)_p^s u(x)=f(u(x)), & x\inΩ,\\ u(x)>0, &x\inΩ,\\ u(x)\leq0, &x\in \mathbb{R}^n\setminus Ω, \end{cases}\end{equation*} where $(-Δ)_p^s$ is the fractional p-Laplacian defined as \begin{equation} (-Δ)_p^s u(x)=C_{n,s,p}P.V.\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}[u(x)-u(y)]}{|x-y|^{n+s p}}dy \label{0} \end{equation} with $0

研究の動機と目的

• 解の漸近的挙動に関する仮定をせず、非有界領域における分数階pラプラシアン方程式に対して最大原理を確立すること。
• 非有界領域において境界から遠く離れた領域における解の漸近的挙動を分析すること。
• 完全非線形かつ非局所的な分数階pラプラシアン作用素に特化したスライディング法を開発すること。
• fおよび領域Ωに対する最小限の仮定の下で正の解の単調性および一意性を証明すること。
• 従来の線形および局所的作用素に対する手法を、完全非線形かつ非局所的な分数階pラプラシアンの設定に拡張すること。

提案手法

• 最大原理を証明するため、分数階pラプラシアンの定義における特異積分を、近似最大点の列に沿って評価する。
• 非局所的作用素における退化を扱うために、ホフプの補題の変種を境界推定の主要な手段として用いる。
• コンパクトな台を持つΦを用いた摂動関数εₖΦを導入し、解の正則化と非局所積分の制御を行う。
• 分数階pラプラシアンの比較原理を適用し、解同士を比較することで単調性を導出する。
• 分数階pラプラシアンの非局所的かつ非線形な構造に適合したスライディング法を発展させ、対称性および一意性を証明する。
• 関数G(t) = |t|^{p-2}tの構造と平均値定理による推定を活用し、積分核における非線形性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の無限遠における漸近的減衰や挙動に関する仮定をせず、非有界領域における分数階pラプラシアンに対して最大原理を確立できるか？
• RQ2 完全非線形かつ非局所的な分数階pラプラシアン作用素に適したスライディング法はどのように適応可能か？
• RQ3 解の単調性および一意性を保証するための非線形関数fおよび領域Ωに必要な必要十分条件は何か？
• RQ4 従来の線形または局所的作用素に関する既存の結果と比較して、fおよびΩに対する仮定をどの程度弱められるか？
• RQ5 非有界領域における分数階pラプラシアン方程式の解の漸近的挙動は、|x| → ∞ のときどのように振る舞うか？

主な発見

• 解の無限遠における漸近的条件を一切仮定せず、非有界領域における分数階pラプラシアンに対して新しい最大原理が確立された。
• 解が無限遠でゼロに減衰することを示したが、事前にその減衰を仮定する必要はなかった。
• 分数階pラプラシアンに対して、スライディング法が成功裏に開発され、解の単調性および一意性の証明が可能になった。
• 分数階pラプラシアンの比較原理が証明され、u ≥ v が領域外で成り立ち、(-Δ)ₚˢu ≥ (-Δ)ₚˢv が領域内で成り立つならば、u ≥ v が全域で成り立つことが示された。
• uとvが任意の内部点で等しいならば、u = v がℝⁿ almost everywhere で成り立つことが示され、強い一意性が得られた。
• 従来の線形または局所的作用素に関する研究と比較して、fおよびΩに対する条件を顕著に弱めたため、非線形かつ非局所的な問題への応用範囲が著しく広がった。