[論文レビュー] Maximum principles at infinity and the Ahlfors-Khas'minskii duality: an overview

Luciano Mari, Leandro Freitas Pessoa|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限遠における最大原理とハスミンスキー型ポテンシャルの存在との間に双対性を確立し、幾何学的最適化原理（例：オモリ＝ヨウ、エケランド）をポテンシャル論的枠組みで統一する。主な貢献は、アーフォルズ性（最大原理の滑らかでない定式化）と、特定の成長条件を満たす発散関数（ハスミンスキー型ポテンシャル）の存在との間のアーフォルズ＝ハスミンスキー双対性であり、確率的完備性、放物的性、および部分多様体幾何への応用を含む。

ABSTRACT

This note is meant to introduce the reader to a duality principle for nonlinear equations that recently appeared in the literature. Motivations come from the desire to give a unifying potential-theoretic framework for various maximum principles at infinity appearing in the literature (Ekeland, Omori-Yau, Pigola-Rigoli-Setti), as well as to describe their interplay with properties coming from stochastic analysis on manifolds. The duality involves an appropriate version of these principles formulated for viscosity subsolutions of fully nonlinear inequalities, called the Ahlfors property, and the existence of suitable exhaustion functions called Khas'minskii potentials. We discuss applications, also involving the geometry of submanifolds, in the last sections, as well as the stability of these maximum principles when we remove polar sets.

研究の動機と目的

• Ekelandの原理、オモリ＝ヨウの原理、ラプラシアン原理など、多様な無限遠における最大原理を、一貫したポテンシャル論的枠組みで統合すること。
• アーフォルズ性（最大原理の滑らかでない定式化）と、特定の成長条件を満たす発散関数（ハスミンスキー型ポテンシャル）の存在との間の双対性を確立すること。
• 極集合の除去に対する最大原理の安定性、特に部分方程式と単調性錐との関係を調査すること。
• 双対性を非線形および完全非線形偏微分方程式（ヘッシアンや部分トレース作用素を含む）へ拡張し、多様体の幾何学的・確率的性質と関連付けること。
• ポテンシャル論的双対性を用いて、確率的完備性、放物的性、マルティンガル完備性を体系的に分析するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 完全非線形不等式の下位解に対する可視的条件としてアーフォルズ性を形式化し、古典的最適化原理を一般化する。
• ハスミンスキー型ポテンシャルを、無限遠で $ w \to \infty $ かつ $ \Delta w \leq G(w) $ もしくは $ \nabla^2 w \leq G(w)\langle\,,\,\rangle $ を満たし、さらに $ \int^\infty \frac{ds}{G(s)} = \infty $ を満たす発散関数として導入する。
• AK双対性を確立：$ (\mathscr{H}1) $ および $ (\mathscr{H}2) $ の仮定の下で、$ X \setminus \Sigma $ においてアーフォルズ性が成り立つのは、$ \Sigma $ が $ F $-極集合であるときかつそのときに限る。
• $ k $-下調和関数および単調性錐 $ M_k $ に応用し、$ M_k $-極集合は、$ M_k $ を単調性錐とする部分方程式に対して除去可能であることを示す。
• リエス特性 $ p_F $ を用いて、普遍的部分方程式 $ F $ がアーフォルズ性を有するための条件を特徴づけ、部分方程式の幾何学的性質と関連付ける。
• コンパクトな極集合 $ \Sigma $ を除去した場合のアーフォルズ性の安定性を分析し、$ \Sigma $ が $ F $-極集合であれば、$ X \setminus \Sigma $ においてもアーフォルズ性が保たれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ekelandの原理、オモリ＝ヨウの原理、ラプラシアン原理など、多様な無限遠における最大原理を、一貫したポテンシャル論的枠組みで統合する方法は何か？
• RQ2 アーフォルズ性（最大原理の滑らかでない定式化）とハスミンスキー型ポテンシャルの存在との間の正確な双対性は何か？
• RQ3 極集合 $ \Sigma $ を多様体から除去した場合、アーフォルズ性がどの条件下で保持されるか？
• RQ4 $ M_k $-極集合は、完全非線形偏微分方程式の可解性および部分多様体の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ5 リエス特性 $ p_F $ は、部分方程式 $ F $ がアーフォルズ性を有するかどうかを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• アーフォルズ＝ハスミンスキー双対性が成立：$ (\mathscr{H}1) $ および $ (\mathscr{H}2) $ の下で、$ \widetilde{F} $ が $ X \setminus \Sigma $ でアーフォルズ性を有するのは、$ \Sigma $ が $ F $-極集合であるときかつそのときに限る。
• $ \Sigma $ が $ F $-極集合であれば、$ X \setminus \Sigma $ においても $ \widetilde{F} $ のアーフォルズ性が保持される。
• 切断錐部分方程式に対しては、$ X \setminus \Sigma $ におけるアーフォルズ性は、$ \Sigma $ が $ F $-極集合であることと同値である。
• $ \Sigma $ が $ F $ の単調性錐 $ M $ に関して $ M $-極集合であれば、弱いハスミンスキー型ポテンシャルの存在により、$ \widetilde{F} $ は $ X \setminus \Sigma $ でアーフォルズ性を有する。
• 双対性は $ k $-下調和関数へ拡張可能である：局所的に有限な $ (p_F - 2) $-次元ハウスドルフ測度を持つ $ M_k $-極集合は $ M_k $-極集合であり、したがって補集合上ではアーフォルズ性が成り立つ。
• 錐 $ M_k $ が $ F $ の単調性錐であるための必要十分条件は、リエス特性 $ p_F \geq k $ であることであり、これにより適切なハスミンスキー型ポテンシャルの存在が保証される。