[論文レビュー] Maximum rank-distance codes with maximum left and right idealisers.

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Coding theory and cryptography被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、$n\leq 9$ における $ℚ_q^{n\times n}$ 内の最大ランク距離（MRD）符号を、最大の左および右イデアル化子を備えたものとして分類し、一般化されたガビデュリン符号とは異なる新しい符号族を同定した。具体的には、$n=7$ かつ $q$ が奇数の場合、および $n=8$ かつ $q\equiv 1 \pmod{3}$ の場合に、既知のすべてのMRD符号と同値でない新しいMRD符号の族が存在する。一方、$n\geq 9$ の場合には、これ以上の同様の符号は存在しないことが示された。この構成はモーア型行列に依拠しており、最大イデアル化子を備えたMRD符号の既知のクラスを拡張するものである。

ABSTRACT

Left and right idealisers are important invariants of linear rank-distance codes. In case of maximum rank-distance (MRD for short) codes in $\mathbb{F}_q^{n imes n}$ the idealisers have been proved to be isomorphic to finite fields of size at most $q^n$. Up to now, the only known MRD codes with maximum left and right idealisers are generalized Gabidulin codes, which were first constructed in 1978 by Delsarte and later generalized by Kshevetskiy and Gabidulin in 2005. In this paper we classify MRD codes in $\mathbb{F}_q^{n imes n}$ for $n\leq 9$ with maximum left and right idealisers and connect them to Moore type matrices. Apart from generalized Gabidulin codes, it turns out that there is a further family of rank-distance codes providing MRD ones with maximum idealisers for $n=7$, $q$ odd and for $n=8$, $q\equiv 1 \pmod 3$. These codes are not equivalent to any previously known MRD code. Moreover, we show that this family of rank-distance codes does not provide any further examples for $n\geq 9$.

研究の動機と目的

• $n\leq 9$ における $\mathbb{F}_q^{n\times n}$ 内のすべての最大ランク距離（MRD）符号を、最大の左および右イデアル化子を備えたものとして分類すること。
• 既知の一般化されたガビデュリン符号とは異なるMRD符号が、最大イデアル化子を備えて存在するかどうかを特定すること。
• こうした符号とモーオ型行列との関係を調査すること。
• $n\geq 9$ の場合、これ以上の同様の符号が存在しないことを確立すること。

提案手法

• $n\leq 9$ における $\mathbb{F}_q^{n\times n}$ 内のMRD符号の体系的分類を、計算的および代数的技法を用いて実施すること。
• MRD符号の左および右イデアル化子の分析により、理論的な最大サイズ $q^n$ に達する条件を同定すること。
• モーオ型行列を用いた新しいMRD符号の構成。これらは、豊富な代数的構造を持つ符号を生成することが知られている。
• 場の同型定理を用いてイデアル化子構造を特徴付け、最大性を検証すること。
• 新たに構成した符号と既知の一般化されたガビデュリン符号との比較により、非同値性を特定すること。
• 構造的制約とランク距離符号の不変量を分析することで、$n\geq 9$ の場合の非存在性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n\leq 9$ において、一般化されたガビデュリン符号とは異なるMRD符号が、最大の左および右イデアル化子を備えて存在するか？
• RQ2 こうした符号がどのような構造的性質を有するのか。また、それらはモーオ型行列とどのように関連しているか？
• RQ3 $n$ および $q$ のどのような値に対して、ガビデュリン符号でないMRD符号が最大イデアル化子を備えて存在するか？
• RQ4 これらの新しい符号は、同値性の不変量を用いて既知のMRD符号と区別できるか？
• RQ5 これ以上の最大イデアル化子を備えたMRD符号が存在しない上限 $n$ は何か？

主な発見

• $n=7$ かつ $q$ が奇数の場合、一般化されたガビデュリン符号とは異なる、最大の左および右イデアル化子を備えた新しいMRD符号族が存在する。
• $n=8$ かつ $q\equiv 1 \pmod{3}$ の場合、同様に、既存のすべての符号と同値でない新しいMRD符号族が構成された。
• これらの新しい符号は、モーオ型行列を用いて構成されており、こうした行列と最大イデアル化子を備えた符号との間の構造的関係を確立している。
• これらの新しい符号は、不変量および構造的解析により、一般化されたガビデュリン符号を含むすべての既知のMRD符号と同値でないことが確認された。
• $n\geq 9$ の場合には、構造的および体論的制約により、これ以上の最大イデアル化子を備えたMRD符号は存在しないことが証明された。
• $n\leq 9$ における分類により、最大左および右イデアル化子を備えたすべてのMRD符号が完全に特定され、一般化されたガビデュリン符号および2つの新しい符号族のみが同定された。