[論文レビュー] Maximum Rooted Connected Expansion

Ioannis Lamprou, Russell Martin+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、与えられたルートノードを含む連結部分グラフの中で、閉近傍のサイズと自身のサイズの比を最大化する問題であるMaximum Rooted Connected Expansion (MRCE)問題を導入する。著者らは、分割グラフにおいてNP困難であることを証明し、分割グラフに対して多項式時間近似スキーム（PTAS）を提示し、予算付き連結ドミネーティング問題の技術を用いて一般グラフに対して1/6(1−1/e)-近似を得た。また、区間グラフに対しては最適なO(n³)時間アルゴリズムを提供した。

ABSTRACT

Prefetching constitutes a valuable tool toward efficient Web surfing. As a result, estimating the amount of resources that need to be preloaded during a surfer's browsing becomes an important task. In this regard, prefetching can be modeled as a two-player combinatorial game [Fomin et al., Theoretical Computer Science 2014], where a surfer and a marker alternately play on a given graph (representing the Web graph). During its turn, the marker chooses a set of $k$ nodes to mark (prefetch), whereas the surfer, represented as a token resting on graph nodes, moves to a neighboring node (Web resource). The surfer's objective is to reach an unmarked node before all nodes become marked and the marker wins. Intuitively, since the surfer is step-by-step traversing a subset of nodes in the Web graph, a satisfactory prefetching procedure would load in cache all resources lying in the neighborhood of this growing subset. Motivated by the above, we consider the following problem to which we refer to as the Maximum Rooted Connected Expansion (MRCE) problem. Given a graph $G$ and a root node $v_0$, we wish to find a subset of vertices $S$ such that $S$ is connected, $S$ contains $v_0$ and the ratio $|N[S]|/|S|$ is maximized, where $N[S]$ denotes the closed neighborhood of $S$, that is, $N[S]$ contains all nodes in $S$ and all nodes with at least one neighbor in $S$. We prove that the problem is NP-hard even when the input graph $G$ is restricted to be a split graph. On the positive side, we demonstrate a polynomial time approximation scheme for split graphs. Furthermore, we present a $\frac{1}{6}(1-\frac{1}{e})$-approximation algorithm for general graphs based on techniques for the Budgeted Connected Domination problem [Khuller et al., SODA 2014]. Finally, we provide a polynomial-time algorithm for the special case of interval graphs.

研究の動機と目的

• 与えられたノードをルートとする連結部分グラフの拡張比を最大化する問題をモデル化し、解法を提示すること。
• さまざまなグラフクラスにおけるMaximum Rooted Connected Expansion (MRCE)問題の計算複雑性を特定すること。
• 一般および特殊なグラフクラスにおけるMRCEのための効率的な近似および正確なアルゴリズムを開発すること。
• MRCEとドミネーティング問題、特に予算付き連結ドミネーティング問題との関係を明らかにすること。
• Webグラフにおけるプリフェッチ効率に関する理論的およびアルゴリズム的知見を提供すること。

提案手法

• ルートノードv0を含む連結集合Sについて、|N[S]|/|S|の最大化としてMRCE問題を定式化する。
• 既知のNP困難問題への帰着を用いて、分割グラフに制限してもMRCEがNP困難であることを証明する。
• 動的計画法と構造的分解に基づき、分割グラフに対する多項式時間近似スキーム（PTAS）を設計する。
• 予算付き連結ドミネーティング問題（BCDS）からの技術を適応し、一般グラフに対して1/6(1−1/e)-近似を得る。
• 区間順序と独立した左右拡張の性質を活用し、動的計画法によりO(n³)時間で動作する区間グラフ用のアルゴリズムを設計する。
• すべての最大連結部分集合（ルートを含む）を探索するために、再帰的拡張関数（Expand）と結合ルーチン（Combine）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MRCE問題は、分割グラフなどの制限付きグラフクラスに対してもNP困難か？
• RQ2 分割グラフにおけるMRCE問題に対して、多項式時間近似スキーム（PTAS）を設計できるか？
• RQ3 BCDSなどの関連問題の技術を用いて、一般グラフにおけるMRCE問題の最良の達成可能な近似比は何か？
• RQ4 区間グラフにおいてMRCE問題は多項式時間正確アルゴリズムを有するか？
• RQ5 弦的グラフの構造的性質を活用して、MRCEのための効率的アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• MRCE問題は、入力グラフが分割グラフである場合でさえもNP困難である。
• 分割グラフにおけるMRCE問題に対して、多項式時間近似スキーム（PTAS）が存在する。
• 一般グラフに対しては、予算付き連結ドミネーティング問題との関連を活用した1/6(1−1/e)-近似アルゴリズムが提示された。
• 区間グラフに対しては、最適なO(n³)-時間アルゴリズムが提供され、MRCEが多項式時間で正確に解ける。
• 区間グラフのアルゴリズムは、各ノードからの独立した左右拡張を用い、動的計画法により組み合わせて拡張比を最大化する。
• 区間グラフアルゴリズムの正しさは、探索空間内で探索されない部分最適解よりも常に優れる解が存在することを示すことによって証明された。