[論文レビュー] MAXIMUM-SIZE ANTICHAINS IN RANDOM SETS

Robert Morris|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、p n → ∞ のとき、{1,...,n} の冪集合の p-ランダム部分集合における最大の反鎖のサイズが、高確率で (k−1 + o(1))p n n/2 であることを確立している。これは、p n ≫ 1 のとき k=2 の場合にオストフスの予想を裏付けている。この結果は、確率的設定における極値的組合せ構造を分析することで、先行研究を拡張したものである。

ABSTRACT

We show that, for pn → ∞, the largest set in a p-random subset of the power set of {1,...,n} containing no k-chain has size (k − 1 + o(1))p n n/2 � with high probability. In the case k = 2, this confirms a conjecture of Osthus. The study of the random set-system P(n,p) was initiated in 1961 by Renyi (15), who de- termined the threshold for the event that P(n,p) is an antichain. More recently, Kreuter (10) and Kohayakawa, Kreuter and Osthus (9) studied the length of the longest chain in P(n,p), and Kohayakawa and Kreuter (8) and Osthus (14) studied the size of the largest antichain. In particular, Osthus (14) proved that (1) holds in the case k = 2 if pn ≫ logn, and conjectured that pn ≫ 1 is sufficient. We note that this conjecture has also been proved independently Research supported in part by a CAPES bolsa Proex (MCN) and a CNPq bolsa de Produtividade em Pesquisa (RM). 1 That is, P(n,p) is a random variable such that P(A ∈ P(n,p)) = p for each A ∈ P(n), and such events are independent for different values of A.

研究の動機と目的

• p n ≫ 1 のとき、{1,...,n} の冪集合の p-ランダム部分集合における最大反鎖のサイズが (1 + o(1))p n n/2 であるというオストフスの予想を解明すること。
• P(n,p) における極値的組合せ構造—特に反鎖と鎖—の理解を拡張すること。
• 一般の p 条件下で、P(n,p) における最大の k-ユニオンフリー族のサイズを特定すること。
• ランダム部分集合における最大反鎖のサイズの鋭い閾値を提供し、レニーらの結果を一般化すること。

提案手法

• 各部分集合 A ⊆ {1,...,n} が確率 p で独立に含まれる p-ランダム部分集合モデル P(n,p) を分析する。
• k-鎖を含まない族のサイズを抑え込むために、確率的および極値的組合せ的手法を適用する。
• ブール格子の既知の構造とスパルナー型定理を、確率的設定の分析の基盤として用いる。
• 集中不等式と漸近的解析を用いて、最大反鎖サイズが高確率で (k−1 + o(1))p n n/2 に集中することを示す。
• P(n,p) における鎖の長さと反鎖サイズに関する先行結果を活用し、k-鎖フリー族の境界を確立する。
• 部分集合の包含が独立であることと、ブール格子の対称性を根拠に、漸近的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p n ≫ 1 のとき、{1,...,n} の冪集合の p-ランダム部分集合における反鎖の最大サイズは何か？
• RQ2 オストフスの予想は、p n ≫ 1 の条件下で、P(n,p) における最大反鎖のサイズが (1 + o(1))p n n/2 であると成立するか？
• RQ3 n → ∞ および p n → ∞ のとき、P(n,p) における k-ユニオンフリー族の最大サイズは漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ4 ランダム集合系における大きな k-鎖フリー族の存在の閾値は何か？
• RQ5 P(n,p) におけるランダム反鎖と鎖に関する結果は、k=2 から一般の k にどのように一般化されるか？

主な発見

• p n → ∞ のとき、{1,...,n} の冪集合の p-ランダム部分集合において、k-鎖を含まない最大族のサイズは、高確率で (k−1 + o(1))p n n/2 である。
• この結果は、p n ≫ log n でない弱い条件 p n ≫ 1 のもとでも、k=2 の場合にオストフスの予想を裏付けている。
• p n ≫ 1 のとき、P(n,p) における最大反鎖の漸近的サイズは、(1 + o(1))p n n/2 にきわめて集中している。
• 解析により、ブール格子の構造が、極値的集合サイズの観点からランダム部分集合においても保存されていることが示された。
• 条件が与えられたもとで、(k−1 + o(1))p n n/2 という境界は鋭く、これ以上改善できない。
• 鎖の長さと反鎖サイズに関する先行研究を一般化し、k-鎖フリー族の統一的枠組みを提供している。