[論文レビュー] Maximum Spontaneous Magnetization and Nambu-Goldstone Mode

Tohru Koma|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Solar and Space Plasma Dynamics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超立方格子上の量子反強磁性ヘイゼンベルグ模型において、無限小の対称性破れ場下での自発磁化が、絶対零度および有限温度の両方で最大値に達することを厳密に証明する。非ゼロの磁化がある場合、無限体積純基底状態の上に無限大のNambu-Goldstoneモードが存在することを確立し、反射正則性と熱力学的極限解析を用いて、仮定を一切設けずに、同じ条件下での横スピン相関関数におけるNambu-Goldstone型の遅い崩壊を示している。

ABSTRACT

We study quantum antiferromagnetic Heisenberg models on a hypercubic lattice. We prove the following three theorems without any assumption: (i) The spontaneous magnetization which is obtained by applying the infinitesimally weak symmetry breaking field is equal to the maximum spontaneous magnetization at zero or non-zero low temperatures. (ii) When the spontaneous magnetization is non-vanishing at zero temperature, there appears a gapless excitation, Nambu-Goldstone mode, above an infinite-volume pure ground state. (iii) When the spontaneous magnetization is non-vanishing at zero or non-zero low temperatures, the transverse correlation in the infinite-volume limit exhibits a Nambu-Goldstone-type slow decay.

研究の動機と目的

• 量子反強磁性ヘイゼンベルグ模型における自発磁化の挙動を、事前の仮定なしに厳密に確立すること。
• 有限体積における低エネルギー励起状態と真の無限体積基底状態の区別により、低エネルギー励起スペクトルの曖昧さを解消すること。
• 自発磁化が非ゼロである場合に、無限体積純基底状態の上に無限大のNambu-Goldstoneモードが存在することを証明すること。
• 自発磁化が非ゼロである条件下で、Nambu-Goldstoneモードに関連する横スピン相関関数の遅いべき乗則的崩壊を示すこと。

提案手法

• 反射正則性を用いて、超立方格子上の量子スピン模型の妥当性を保証する。
• 弱*極限を用いて、周期的境界条件を満たす有限体積基底状態から無限体積基底状態を定義する。
• Bijl-Feynmanの単一モード近似を用い、スペクトル解析による低励起状態の厳密な制御を拡張する。
• 作用素ノルムの推定と相関関数の境界評価を用い、$ b_p^{(eta)} $、$ g_p^{(eta)} $、$ c_p^{(eta)} $ を含む不等式を適用する。
• Bochnerの定理を用いて、横スピン相関関数を測度のフーリエ変換として表現し、$ p = (π, \dots, \pi) $ にデルタ関数成分を特定する。
• Riemann-Lebesgueの補題を用いて、測度の絶対連続部が大距離で無視可能であることを示し、デルタ関数に起因する長距離挙動を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小の対称性破れ場下での自発磁化は、絶対零度または有限温度のどちらで最大値に達するか？
• RQ2 自発磁化が非ゼロである場合、無限体積純基底状態の上に無限大のNambu-Goldstoneモードが存在するか？
• RQ3 自発磁化が存在する場合、大距離における横スピンスピン相関関数はどのように崩壊するか？
• RQ4 Nambu-Goldstone型の遅い相関関数の崩壊は、ハミルトニアンのスペクトル的性質から厳密に導けるか？

主な発見

• 無限小の対称性破れ場による自発磁化は、絶対零度および有限温度の両方で最大値に達し、いかなる仮定も必要としない。
• 絶対零度で自発磁化が非ゼロである場合、無限体積純基底状態の上に無限大のNambu-Goldstoneモードが現れる。
• 自発磁化が絶対零度または有限温度で非ゼロである場合、横スピンスピン相関関数はNambu-Goldstoneモードに特徴づけられる遅い崩壊を示す。
• 相関関数の長距離挙動は、運動量空間における $ p = (π, \dots, \pi) $ におけるデルタ関数に支配され、長距離秩序を示している。
• 相関関数の境界は、3次元以上では可積分性を支持しており、長波長モードが適切に定義されることを裏付ける。
• 解析により、無限体積基底状態が純粋であり、有限体積における低励起状態が熱力学的極限において長距離秩序に寄与しないことが確認された。