[論文レビュー] Maximum Throughput Problem in Dissipative Flow Networks with Application to Natural Gas Systems

Sidhant Misra, Marc Vuffray+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自然ガスシステムなどの散乱流路ネットワークにおける最大スループット問題を解くための凸最適化フレームワークを提案する。ネットワークフロー方程式の変分的定式化を活用し、厳密に凸なエネルギー関数により解の一意性を確立する。また、グローバル最適性の検証を目的とした双凸最適化アプローチと混合整数凸緩和法を構築し、ガスネットワークのテストケースで有効性を検証した。結果として、サブ最適性の上限が非常にタイトであることが示された。

ABSTRACT

We consider a dissipative flow network that obeys the standard linear nodal flow conservation, and where flows on edges are driven by potential difference between adjacent nodes. We show that in the case when the flow is a monotonically increasing function of the potential difference, solution of the network flow equations is unique and can be equivalently recast as the solution of a strictly convex optimization problem. We also analyze the maximum throughput problem on such networks seeking to maximize the amount of flow that can be delivered to the loads while satisfying bounds on the node potentials. When the dissipation function is differentiable we develop a representation of the maximum throughput problem in the form of a twice differentiable biconvex optimization problem exploiting the variational representation of the network flow equations. In the process we prove a special case of a certain monotonicity property of dissipative flow networks. When the dissipation function follows a power law with exponent greater than one, we suggest a mixed integer convex relaxation of the maximum throughput problem. Finally, we illustrate application of these general results to balanced, i.e. steady, natural gas networks also validating the theory results through simulations on a test case.

研究の動機と目的

• 散乱流路ネットワーク方程式を変分的かつ厳密に凸な定式化により定式化し、解の一意性を保証すること。
• 散乱関数が微分可能である場合に、最大スループット問題を2回微分可能で双凸な最適化問題として再定式化すること。
• 散乱関数が指数 >1 のべき乗則に従う場合に、最大スループット問題のための混合整数凸緩和法を提案すること。
• バランスの取れた自然ガスネットワークモデルに対してフレームワークを検証し、グローバル最適に近い解が得られることを示すこと。
• ヒューリスティック解と最適性ギャップ推定を組み合わせた計算パイプラインを提供し、実用的導入を可能とすること。

提案手法

• エネルギー関数を用いてネットワークフロー方程式を厳密に凸な最適化問題として定式化し、凸性による解の一意性を保証する。
• 双対エネルギー関数を導出し、そのヘッセ行列を用いて最適化ソルバに勾配およびヘッセ情報の供給を行う。
• エネルギー関数を用いて最大スループット問題の双凸再定式化を構築し、特定の条件下で有効であることを示す。
• 指数 >1 のべき乗則に従う散乱関数に対して、非凸性を低減する混合整数凸緩和法を導入する。
• IPOPTに解析的勾配と自動ヘッセ計算を組み合わせたエネルギー関数定式化を実装する。
• BONMINおよびSCIPを用いてMIQP緩和問題を解き、ベンチマーク用のグローバル解を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散乱流路ネットワーク方程式の解は、厳密に凸な最適化問題として一意に定められるか？
• RQ2 散乱関数が微分可能である場合に、最大スループット問題は2回微分可能で双凸な最適化問題として再定式化可能か？
• RQ3 自然ガスネットワークにおけるエネルギー関数ヒューリスティック解の品質は、グローバル最適解と比較してどの程度か？
• RQ4 指数が >1 のべき乗則に従う散乱関数に対して、混合整数凸緩和法は最適性ギャップ推定にどの程度有効か？
• RQ5 提案されたフレームワークは、動的または不確実なネットワーク最適化問題に拡張可能か？

主な発見

• エネルギー関数定式化により、最大スループットの上界を表す妥当解が得られ、サブ最適性ギャップはMIQP下界によってバウンドされる。
• 圧力制約 (0.5–5.0)、(0.5–4.25)、(0.5–3.5) の下で、圧縮機なしのテストケースにおいて、エネルギー関数ヒューリスティックはそれぞれ -651、-576、-491 のコストを達成した。
• グローバルソルバ（SCIP）は同じ制約下で、それぞれ -665、-579、-501 の最適コストを発見し、エネルギー関数解がグローバル最適解の2%以内に収まっていることが示された。
• MIQP緩和は、それぞれ -685、-581、-501 の下界を生成し、最適性ギャップのタイトさが裏付けられた。
• 圧縮機を含む場合、エネルギー関数ヒューリスティックは -694、-627、-584 を達成したが、SCIPはそれぞれ -737、-632、-598 を得ており、5–6%のギャップが生じた。
• MIQP緩和は、それぞれ -752、-640、-598 の下界を生成し、境界のタイトさとアプローチのロバスト性が確認された。