[論文レビュー] Maximum vanishing subspace problem, CAT(0)-space relaxation, and block-triangularization of partitioned matrix

Masaki Hamada|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、分割行列に対する重み付き最大消滅部分空間問題（WMVSP）を導入し、モジュラー格子上のサブモジュラ最適化とCAT(0)-空間上の凸最適化の新規な組み合わせを用いて、擬似多項式時間で解けることを証明する。主な貢献は、CAT(0)-空間上の近接点法を用いた、分割行列のブロック上三角化を多項式時間で行うアルゴリズムの確立であり、このような行列の正規形に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we consider computing the degree of the Dieudonné determinant of a polynomial matrix A = A_l + A_{l-1} s + ⋯ + A₀ s^l, where each A_d is a linear symbolic matrix, i.e., entries of A_d are affine functions in symbols x₁, …, x_m over a field K. This problem is a natural "weighted analog" of Edmonds' problem, which is to compute the rank of a linear symbolic matrix. Regarding x₁, …, x_m as commutative or noncommutative, two different versions of weighted and unweighted Edmonds' problems can be considered. Deterministic polynomial-time algorithms are unknown for commutative Edmonds' problem and have been proposed recently for noncommutative Edmonds' problem. The main contribution of this paper is to establish a deterministic polynomial-time reduction from (non)commutative weighted Edmonds' problem to unweighed Edmonds' problem. Our reduction makes use of the discrete Legendre conjugacy between the integer sequences of the maximum degree of minors of A and the rank of linear symbolic matrices obtained from the coefficient matrices of A. Combined with algorithms for noncommutative Edmonds' problem, our reduction yields the first deterministic polynomial-time algorithm for noncommutative weighted Edmonds' problem with polynomial bit-length bounds. We also give a reduction of the degree computation of quasideterminants and its application to the degree computation of noncommutative rational functions.

研究の動機と目的

• 同値変換の下で分割行列の正規ブロック上三角形形式を計算するという未解決問題に対処すること。
• 体 F 上のブロック構造行列を含む線形代数的設定に、二部安定集合問題を一般化すること。
• MVSP を一般化する重み付き最大消滅部分空間問題（WMVSP）の多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• モジュラー格子上のサブモジュラ最適化と CAT(0)-空間上の凸最適化を組み合わせた、新しい計算フレームワークを確立すること。

提案手法

• 重み付き和の最大化問題として、双線形消滅制約の下での部分空間次元の重み付き和を最大化する形で、重み付き最大消滅部分空間問題（WMVSP）を定式化する。
• ベクトル空間の部分空間の格子をモジュラー格子としてモデル化し、サブモジュラ関数を、CAT(0)-空間である正交シーム複体 K(L) に拡張する。
• 得られた凸最適化問題を解くために、CAT(0)-空間における近接点法（PPA）のバージョンを適用する。
• CAT(0)-空間の特徴である一意的な測地線構造を用いて、反復的に近接写像を定義および計算する。
• 最適解が特別に設計された重みを用いて WMVSP を繰り返し解くことで、極値の mv-部分空間を抽出し、準ダルムゲ＝メンデルソン（q-DM）分解を構築する再帰的アルゴリズム（q-DM および q-DMreg）を構築する。
• 特定の重みスキームの下で、最適な WMVSP 解が極値（最小または最大）の mv-部分空間を一意に与えることを証明する。これにより再帰的分解が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 F 上の分割行列に対して、重み付き最大消滅部分空間問題（WMVSP）は、擬似多項式時間で解けるか？
• RQ2 CAT(0)-空間上の凸最適化は、部分空間の無限モジュラー格子上の離散最適化問題を解くために実用的なフレームワークを提供するか？
• RQ3 適切な重み割り当てのもとで、極値の mv-部分空間（最小および最大）は、WMVSP によって一意に特定可能か？
• RQ4 WMVSP の解を用いて、分割行列の正規ブロック上三角形形式を多項式時間で計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 適切に設計された重みを用いて WMVSP を繰り返し解くことで、準ダルムゲ＝メンデルソン分解をアルゴリズム的に計算できるか？

主な発見

• WMVSP は、m, n, 最大重み W に関して多項式時間で解ける（F 上の算術演算を定数時間で行えると仮定）。
• 解法は、モジュラー格子上のサブモジュラ最適化と CAT(0)-空間上の凸最適化を、近接点法を介して組み合わせた、新規な手法に依存する。
• 極値の mv-部分空間（最小および最大）は、特定の重みスキーム（例：最大性のための Cα = m+2, Dβ = m+1）の下で、WMVSP の最適解として一意に得られる。
• 再帰的アルゴリズム（q-DM および q-DMreg）は、調整された重みを用いた WMVSP を繰り返し解くことで、mv-部分空間を再帰的に特定し、準ダルムゲ＝メンデルソン（q-DM）分解を計算する。
• 各 WMVSP インスタンスの重みが有界であるため、アルゴリズムは多項式時間で実行可能であり、定理 1.1 が擬似多項式時間での解法を保証する。
• 本手法は、mv-部分空間と正規ブロック上三角形形式との間の構成的関係を確立し、Ito, Iwata, Murota（1994）が提示した未解決問題を解決する。