[論文レビュー] Maximum Weight Independent Set in lClaw-Free Graphs in Polynomial Time

Andreas Brandstädt, Raffaele Mosca|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の固定された $l$ に対して $l$-claw-free グラフにおける最大重み独立集合（MWIS）問題の多項式時間アルゴリズムを提示する。これは、先行研究の claw-free グラフおよび $lK_2$-free グラフへの拡張である。本手法は、反近傍に基づく再帰的分解と、新たなアルゴリズム、Algorithm Gamma($l$) を用いる。Algorithm Gamma($l$) は、すべての最大独立集合を含む多項式サイズの部分グラフ族を構成し、動的計画法を用いて MWIS を効率的に解けるようにする。

ABSTRACT

The Maximum Weight Independent Set (MWIS) problem is a well-known NP-hard problem. For graphs $G_1, G_2$, $G_1+G_2$ denotes the disjoint union of $G_1$ and $G_2$, and for a constant $l \ge 2$, $lG$ denotes the disjoint union of $l$ copies of $G$. A {\em claw} has vertices $a,b,c,d$, and edges $ab,ac,ad$. MWIS can be solved for claw-free graphs in polynomial time; the first two polynomial time algorithms were introduced in 1980 by \cite{Minty1980,Sbihi1980}, then revisited by \cite{NakTam2001}, and recently improved by \cite{FaeOriSta2011,FaeOriSta2014}, and by \cite{NobSas2011,NobSas2015} with the best known time bound in \cite{NobSas2015}. Furthermore MWIS can be solved for the following extensions of claw-free graphs in polynomial time: fork-free graphs \cite{LozMil2008}, $K_2$+claw-free graphs \cite{LozMos2005}, and apple-free graphs \cite{BraLozMos2010,BraKleLozMos2008}. This manuscript shows that for any constant $l$, MWIS can be solved for $l$claw-free graphs in polynomial time. Our approach is based on Farber's approach showing that every $2K_2$-free graph has ${\cal O}(n^2)$ maximal independent sets \cite{Farbe1989}, which directly leads to a polynomial time algorithm for MWIS on $2K_2$-free graphs by dynamic programming. Solving MWIS for $l$claw-free graphs in polynomial time extends known results for claw-free graphs, for $lK_2$-free graphs for any constant $l$ \cite{Aleks1991,FarHujTuz1993,Prisn1995,TsuIdeAriShi1977}, for $K_2$+claw-free graphs, for $2P_3$-free graphs \cite{LozMos2012}, and solves the open questions for $2K_2+P_3$-free graphs and for $P_3$+claw-free graphs being two of the minimal graph classes, defined by forbidding one induced subgraph, for which the complexity of MWIS was an open problem.

研究の動機と目的

• $l$-claw-free グラフにおける MWIS 問題の計算量の解明を目的とする。これは、claw-free グラフの自然な拡張である。
• 既知の $lK_2$-free グラフおよび $K_2$+claw-free グラフにおける MWIS の多項式時間解法を、より広いクラスへ拡張することを目的とする。
• $2K_2+P_3$-free および $P_3$+claw-free グラフという、最小の禁止部分グラフクラスである未解決問題を、本フレームワークで解消することを目的とする。
• Farber による $2K_2$-free グラフに対するアプローチを、構造的分解を介して $l$-claw-free グラフへ一般化することを目的とする。

提案手法

• 入力グラフのすべての最大独立集合を含む、良い claw-free 族を計算するための Algorithm Gamma($l$) を提案する。
• 再帰的分解を用いる：各誘導部分グラフ $L_k$（特定の5頂点部分グラフ）に対して、反近傍 $A_G(L_k)$ を計算し、これは $(l-1)$-claw-free であることを保証する。
• 数学的帰納法を用い、$l-1$ に対してはこの手法が有効であると仮定し、反近傍が良い claw-free 族を許容することを保証する。
• 各ループで $O(n)$ 時間を要する反復的拡張により、頂点部分集合の多項式サイズの族 ${\cal S}$ を構築する。各部分集合は、claw-free な部分グラフを誘導する。
• 各 ${\cal S}$ の要素に対して、既知の $O(n^2 \log n)$ 時間の claw-free グラフにおける MWIS アルゴリズム（定理1）を用いて動的計画法を適用する。
• ${\cal S}$ の全要素からの結果を統合し、最大重み独立集合を返す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の固定された $l$ に対して、$l$-claw-free グラフにおける MWIS 問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 $2K_2$-free グラフに用いられた構造的アプローチが、$l$-claw-free グラフへ拡張可能か？
• RQ3 $2K_2+P_3$-free および $P_3$+claw-free グラフという未解決問題が、本フレームワークによって解消されたか？
• RQ4 $l$-claw-free グラフに対して、良い claw-free 族を多項式時間で計算可能か？

主な発見

• 任意の固定された $l$ に対して、$l$-claw-free グラフにおける MWIS 問題は多項式時間で解けることが保証され、未解決問題が解消された。
• Algorithm Gamma($l$) は、$n$ に関して多項式関数で抑えられるサイズの良い claw-free 族を多項式時間で計算可能である。
• Algorithm Gamma($l$) が構築する族 ${\cal S}$ は、入力グラフのすべての最大独立集合を含む。
• ${\cal S}$ の各要素は、claw-free な部分グラフを誘導するため、各成分に対して既知の $O(n^2 \log n)$ 時間の MWIS アルゴリズムを適用可能である。
• Algorithm MWIS($l$) の全体的な時間計算量は多項式であり、下位の claw-free MWIS アルゴリズムの時間計算量と一致する。
• 本結果は、$lK_2$-free、$K_2$+claw-free、および $2P_3$-free グラフに関する先行研究を一般化し、2つの最小の未解決ケース（$2K_2+P_3$-free および $P_3$+claw-free グラフ）を解消した。