[論文レビュー] Maximum Wiener index of unicyclic graphs with given bipartition

Jan Bok, Nikola Jedličková+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、与えられた二部分割 (p, q) を持つユニサイクル二部グラフのウィーナー指数を最大化する問題を解決し、最大値が一意に 'オニオングラフ' 構造 $\ mathrm{On}(\lfloor(q-p)/2\rfloor, 2p-3, \lceil(q-p)/2\rclose)$ で達成されることを示している。また、最大ウィーナー指数値の閉形式式も提示している。

ABSTRACT

The \emph{Wiener index} is a widely studied topological index of graphs. One of the main problems in the area is to determine which graphs of given properties attain the extremal values of Wiener index. In this paper we resolve an open problem posed by Du in 2012. To this end we determine the unicyclic bipartite graphs with given size of parts having the maximum Wiener index. This completes the previous research in which the minimum case was solved.

研究の動機と目的

• Du (2012) が提起した、固定された二部分割 (p, q) を持つユニサイクル二部グラフにおけるウィーナー指数の最大値に関する未解決問題を解決すること。
• 与えられた部分サイズ p と q を持つユニサイクルグラフで、ウィーナー指数が最大になる構造を同定すること。
• 以前の最小ウィーナー指数に関する研究に続く形で、最大ケースを解き、極値的特徴付けを完成させること。
• p と q の関数として最大ウィーナー指数値の閉形式式を提供すること。

提案手法

• 『オニオングラフ』$\mathrm{On}(k,l,m)$ を導入し、これは 4 サイクルに一つの頂点にパントリエジ・エッジが接続され、反対側の頂点に長さ l のパスが接続され、もう一方の端に m 個のパントリエジ・エッジが接続された構造である。
• トランスミッションに基づく解析を用いる：ウィーナー指数は、各頂点のトランスミッション $t_G(v)$（v から他のすべての頂点までの距離の和）の合計の半分として計算される。
• 極値的グラフの構造を制限するための一連の補題を用いる：すべての極値的グラフは 4 サイクルを含み、すべてのパントリエジ頂点は大きい方の部分 Q に属する必要がある。
• グラフの同定を用いた変換議論を適用する：より小さなグラフの頂点を同一視して得られるグラフのウィーナー指数を比較し、最適構造からの逸脱が指数を減少させることを示す。
• 補題 11 を用いて、オニオングラフ内の頂点の正確なトランスミッションを計算し、ウィーナー指数の精密な比較を可能にする。
• 補題 2（トランスミッション比較補題）を適用し、最適パrameter化からの任意の逸脱が、変更されたグラフではより大きなウィーナー指数を生じることを示し、最大性に矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた (p,q)-分割を持つユニサイクル二部グラフの中で、どのグラフがウィーナー指数を最大にするか？
• RQ2 このクラスにおいて、最大ウィーナー指数を達成する極値的グラフ構造は一意か？
• RQ3 p と q の関数として、最大ウィーナー指数の閉形式式は何か？
• RQ4 サイクルサイズ、パス長、パントリエジエッジの分布といった構造的パラメータは、ユニサイクルグラフにおけるウィーナー指数にどのように影響するか？

主な発見

• 部分サイズ p と q（1 < p ≤ q）を持つユニサイクル二部グラフの最大ウィーナー指数は、一意にオニオングラフ $\mathrm{On}(\lfloor(q-p)/2\rfloor, 2p-3, \lceil(q-p)/2\rceil)$ で達成される。
• この極値的グラフのウィーナー指数は、明示的な式で与えられる：$(2p-5)\cdot\lceil(q-p)/2\rceil\lfloor(q-p)/2\rfloor + (p-7)\lceil(q-p)/2\rceil + (13-7p)\lfloor(q-p)/2\rfloor + 2p^2q + (q-p)^2 + 2p^3 - 37p + 66$。
• オニオングラフの最適パrameter化からの逸脱（例：サイクルの二つの頂点にパントリエジエッジを不均等に分配するなど）は、常により小さいウィーナー指数をもたらす。
• 極値的グラフは 4 サイクルを含み、すべてのパントリエジ頂点は大きい方の部分 Q の同じサイクル頂点に接続されている必要がある。
• 極値的グラフにおけるパス長は固定されており、$2p - 3$ に等しい。これは頂点総数とパントリエジエッジの数から導かれる。
• トランスミッション比較による議論を通じて、代替構成が二部分割制約を破るか、トランスミッション比較によりより小さいウィーナー指数を生じることを示し、一意性を確立している。