[論文レビュー] Maxwell and Navier-Stokes Equations Equivalent to Einstein Equation

Fabio G. Rodrigues, Roldão da Rocha+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特に非自明なキリングベクトル場が存在する条件下で、一般相対性理論におけるアインシュタインの場の運動方程式が、自然にマクスウェル型およびナビエ＝ストークス型の方程式を導くことを示している。主な結果は、キリングベクトルを持つ時空における一様な幾何学的枠組みから、アインシュタイン、マクスウェル、ナビエ＝ストークスの方程式を統一的に導出できることであり、重力、電磁気、流体動力学の間の深い数学的関係を明らかにしている。

ABSTRACT

In this paper we are concerned to reveal that any spacetime structure \slg ,D,{ au}_{[sg] \sslg },\uparrow>, which is a model of a gravitational field in General Relativity generated by an energy-momentum tensor T --- and which contains at least one nontrivial Killing vector field A --- is such that the 2-form field F=dA (where A=[g] \slg (A,)) satisfies a Maxwell like equation --- with a well determined current that contains a term of the superconducting type--- which follows directly from Einstein equation. Moreover, we show that the resulting Maxwell like equations, under an additional condition imposed to the Killing vector field, may be written as a Navier-Stokes like equation as well. As a result, we have a set consisting of Einstein, Maxwell and Navier-Stokes equations that follows sequentially from the first one under precise mathematical conditions and once some identifications about field variables are evinced, as detailed explained throughout the text. We compare and emulate our results with others on the same subject appearing in the literature.

研究の動機と目的

• 非自明なキリングベクトル場を有する時空において、アインシュタインの方程式からマクスウェル型方程式への数学的道筋を確立すること。
• 導出されたマクスウェル型方程式における源項を特定すること、特に幾何学的要因に起因する超伝導型項を含むこと。
• キリングベクトル場に追加の条件を課すことにより、同じ系からナビエ＝ストークス型方程式を導出できることを示すこと。
• 一般相対性理論における明確な幾何的制約のもとで、アインシュタイン、マクスウェル、ナビエ＝ストークスの方程式を連続的かつ統一的に導出すること。

提案手法

• エネルギー運動量テンソル T を持つ重力場を表す時空構造 (g, D, {α}_{[sg]}, ↑) を用いる。
• £_A g = 0 を満たす非自明なキリングベクトル場 A を特定し、2形式 F = dA を定義する。
• アインシュタイン方程式およびキリングベクトル場の性質を代入することで、F に対するマクスウェル型方程式を導出する。
• 幾何的制約を導入することで、マクスウェル型方程式の電流項に超伝導型項を組み込む。
• キリングベクトル場に追加の条件を課して、ナビエ＝ストークス型方程式の導出を可能にする。
• 同じ幾何学的枠組みからナビエ＝ストークス型方程式が導かれるように、場の変数の同一視を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン方程式が、キリングベクトル場 A から導かれる 2 形式 F = dA に対してマクスウェル型方程式を導くための幾何的条件は何か？
• RQ2 導出されたマクスウェル型方程式における電流項、特に超伝導型成分の物理的および幾何的起源は何か？
• RQ3 キリングベクトル場にどのような追加条件を課すと、同じ系からナビエ＝ストークス型方程式を導出できるか？
• RQ4 一般相対性理論における一様な幾何的枠組みのもとで、アインシュタイン、マクスウェル型、ナビエ＝ストークス型の方程式はどのように連続的に関係しているか？
• RQ5 本稿で得られた方程式は、重力・電磁気・流体の類似に関する既存の文献と比較して、どのような類似性・相違点を示すか？

主な発見

• 非自明なキリングベクトル場 A から導かれる 2 形式 F = dA は、アインシュタイン方程式から直接導かれるマクスウェル型方程式を満たす。
• 導出されたマクスウェル型方程式の電流には、時空の幾何構造およびキリングベクトルに起因する超伝導型項が含まれる。
• キリングベクトル場に追加の条件を課すことで、同じ系からナビエ＝ストークス型方程式が得られ、重力と流体動力学の間の関係が明確に示される。
• アインシュタイン、マクスウェル型、ナビエ＝ストークス型の方程式は、一般相対性理論における明確な場の変数の同一視のもとで、一様な幾何学的枠組みから連続的に導出される。
• 結果は、アナログ重力および統一場理論に関する既存の文献と整合しており、新規の幾何的導出を強調している。