[論文レビュー] Maxwell equation, Shroedinger equation, Dirac equation, Einstein equation defined on the multifractal sets of the time and the space

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|Feb 1, 2000

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間的・空間的依存性を持つフラクタル次元に基づく一般化分数階微分（GFD）を用いて、マクスウェル、シュレーディンガー、ディラック、アインシュタインの基本方程式を一般化する。この手法により、フラクタル次元が1に近い場合には標準形式に還元され、弱い場（例：地球の重力では約10⁻⁹）に対しては微小な補正が生じるが、強い場の状態でも正則で特異点のない形を保つ。

ABSTRACT

What forms will have an equations of modern physics if the dimensions of our time and space are fractional? The generalized equations enumerated by title are presented by help the generalized fractional derivatives of Riemann-Liouville.

研究の動機と目的

• 現代物理学の核となる方程式を、分数（フラクタル）次元を有する時空に拡張すること。
• 時間的・空間的変動を示す時空次元を持つ多フラクタル集合上での物理法則をモデル化すること。
• 一般化分数階微分（GFD）を用いて、弱場条件下での標準方程式に対する補正を導出すること。
• フラクタル次元が1から著しく逸脱する強場領域におけるこれらの方程式の挙動を調査すること。
• 多フラクタル時空における特異点のない重力場理論および量子場理論の枠組みを確立すること。

提案手法

• Riemann-Liouville型の一般化分数階微分（GFD）を導入し、微分の順序が位置および時間の関数である、すなわち $ d_t = d_t(oldsymbol{r},t) $, $ d_{oldsymbol{r}} = d_{oldsymbol{r}}(oldsymbol{r},t) $ となるように定義する。
• 標準方程式（マクスウェル、シュレーディンガー、ディラック、アインシュタイン）における通常の微分を、これらのGFDに置き換えることで、多フラクタル時空集合上での方程式を定義する。
• Lagrangianエネルギー密度を介してフラクタル次元の依存関係を導出し、$ d_t = 1 + eta_{i, ho} L_{i, ho} $ を用いて幾何学と物理的場を結びつける。
• 近似式 $ d_ au = 1 + ilde{ ho}(oldsymbol{r},t) $, $ | ilde{ ho}| o 0 $ を適用し、GFDを通常の微分の摂動として表現する。
• GFDに基づく計量テンソル $ ilde{ ho}^{ ueta} $ を持つミンコフスキー背景を用い、曲率だけでなくフラクタル次元にも依存する。
• 計量テンソルがフラクタル次元の関数として機能する、一般化されたアインシュタイン型方程式（例：式17）を導出する。特異点を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的・空間的依存性を持つ非整数次元のフラクタル次元を有する時空において、マクスウェル、シュレーディンガー、ディラック、アインシュタインの標準方程式はどのように変化するか？
• RQ2 地球の重力や原子核付近のような弱場領域において、これらの方程式に対する一次補正は何か？
• RQ3 フラクタル次元が1から著しく逸脱する強場領域でも、一般化された方程式が正則かつ特異点なしに保たれるか？
• RQ4 Lagrangian密度から導かれるフラクタル次元に依存する計量テンソルは、重力方程式においてどのように変更されるか？
• RQ5 通常のLagrangian場理論の形式的枠組みは、強場における多フラクタル時空にどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• フラクタル次元が正確に1であるとき、一般化された方程式は標準形式に還元され、従来の物理学と整合性を保つ。
• 地球の重力のような弱場において、時間的フラクタル次元への補正は約 $ 10^{-9} $ であり、標準物理学からの著しい逸脱は見られない。
• 原子スケールの電場においては、フラクタル次元への補正は $ 10^{-8} $ のオーダーであり、依然として小さいが、高精度実験では測定可能である可能性がある。
• 強場領域では、方程式は本質的に正則で特異点のない積分分数階方程式に変化する。
• 一般化されたアインシュタイン方程式（式17）の計量テンソルは、フラクタル次元の関数として機能するが、そのフラクタル次元自体がLagrangian密度から導かれるため、自己整合的な幾何学的場理論が得られる。
• この枠組みは、基礎となる幾何学を適切に一般化すれば、通常のLagrangian場理論に基づく量子場理論および古典場理論が、強場における多フラクタル時空でも依然として適用可能である可能性を示唆している。