[論文レビュー] Maxwell's Equations, Hodge Theory, and Gravitation

D. H. Sattinger|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Relativity and Gravitational Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホッジ理論とガウスの法則およびアンペールの法則の基本的法則から、マクスウェル方程式が自然に導かれることが示されている。電磁気的および重力的場がミンコフスキー時空上での幾何的現象として統一される。電気的および磁気的定数を重力に対して符号を反転させることで、理論はマクスウェル形式を引力に拡張し、弱い場における重力が本質的にスピン-1であり、アインシュタインの線形化されたスピン-2重力とは明確に異なることを示している。

ABSTRACT

A mathematical proof is given that Maxwell's equations are an {\it artifact} of Hodge theory together with the laws of Gauss and Ampère, taken as axioms. They are thus geometric in nature, independent of any specific physical mechanisms, and valid for any force field -- attractive or repulsive -- generated by a material density and current. In particular, with appropriate sign changes to reflect the attractive nature of the field, they apply to gravitational fields on Minkowski space-time as well. The linearization of the Einstein Field Equations on Minkowksi space-time leads also to a linear theory of gravity; but this theory is spin 2, while Maxwell's field theory is spin 1. Hence the two theories are distinct. The relationship of Maxwell's field theory to Einstein's geometric theory is explained for weak fields.

研究の動機と目的

• 物理的メカニズムに依存しないホッジ理論を用いたマクスウェル方程式の幾何的基礎を確立すること。
• 誘電率および透磁率定数の符号を反転させることで、マクスウェル形式を重力場に拡張し、引力を反映させること。
• 弱い場の領域におけるマクスウェルのスピン-1場理論とアインシュタインの線形化されたスピン-2重力理論の違いを明確にすること。
• 電磁気的および重力的場のエネルギー運動量テンソルが正のエネルギー密度を持つことを示し、歴史的な場のエネルギー符号に関する懸念を解消すること。

提案手法

• 3次元ユークリッド空間上の微分形式にホッジ分解定理を適用し、ベクトル場を完全形式および余完全形式に分解する。
• ホッジ双対性を用いて、ガウスの法則およびアンペールの法則を微分形式の言語で表現し、それらを電磁気的および重力的ポテンシャルに関連付ける。
• ミンコフスキー時空上での4次元的枠組みで、ファラデー2形式 $F$ とマクスウェル＝アンペール2形式 $G$ を用いてマクスウェル方程式を定式化し、それらがホッジ双対性によって関連づけられるようにする。
• $F$ と $G$ のホッジ内積からラグランジアンを導出し、ゲージ不変性および幾何的整合性を保証する。
• 電気的および磁気的定数 $\epsilon$ と $\mu$ を、特殊相対性理論に整合する速度の逆二乗の次元を持つ幾何的パrameterと解釈し直す。
• 同じ形式を重力に適用するため、$\epsilon$ と $\mu$ の符号を反転させ、弱い重力の整合性のあるスピン-1理論が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクスウェル方程式は、物理的メカニズムに依存せず、ホッジ理論およびガウスとアンペールの法則の公理から幾何的帰結として導けるか？
• RQ2 元来斥力的な電磁気的場を記述するための形式が、引力的な力場（例：重力）を記述するためにどのように拡張できるか？
• RQ3 弱い場の極限において、マクスウェルのスピン-1場理論とアインシュタインの線形化されたスピン-2重力理論との関係は何か？
• RQ4 なぜ電磁気的および重力的場のエネルギー運動量テンソル $T^{00}$ が正のエネルギー密度を持つのか。これは、歴史的に場のエネルギーが負であるという懸念を解消する。
• RQ5 マクスウェルの場理論は、一般相対性理論のポストニュートン近似において、どの程度の次数の近似として成立するのか？

主な発見

• マクスウェル方程式は、ホッジ理論およびガウスとアンペールの公理の幾何的帰結として示され、物質的密度および電流によって生成される任意の力場（斥力的または引力的）に適用可能である。
• 符号を反転させた $\epsilon$ と $\mu$ を用いることで、同じ形式がミンコフスキー時空上での重力場に適用され、整合性のあるスピン-1理論の弱い重力理論が得られる。
• $\mu\epsilon$ が速度の逆二乗の次元を持つことが証明され、アインシュタインの光速一定の仮定により $\mu\epsilon = c^{-2}$ が成り立つ。これにより、すべての力場に対して理論が妥当であることが保証される。
• 電磁気的および重力的場のエネルギー運動量テンソル $T^{00}$ は正であることが示され、古典的な重力場のエネルギーが負であるという懸念が解消される。
• 弱い場の極限において、マクスウェルの場理論はアインシュタインの線形化重力理論を支配し、後者は僅かな相対論的補正にすぎない。これは水星の近日点移動の観測と一致する。
• ポストニュートン近似により、マクスウェル方程式が展開の主要項として成立しており、弱い重力的領域における電磁気的場に類似した場の支配的支配が観測と整合的であることが示された。