[論文レビュー] Maxwell's Theory on Non-Commutative Spaces and Quaternions

S. I. Kruglov|ArXiv.org|Oct 6, 2001

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、クaternionとスピンテンソルを用いて非可換（NC）時空上でのマクスウェル電磁力学を定式化し、電磁場の非線形2階波動方程式を導出する。エネルギー運動量テンソルにトレース異常を特定し、非可換時空において電磁場の双対対称性が破れていることを示し、新しい形式下でも平面波が正確な解として残ることを示す。

ABSTRACT

The Maxwell theory on non-commutative spaces has been considered. The non-linear equations of electromagnetic fields on non-commutative spaces were obtained in the compact spin-tensor (quaternion) form. It was shown that the plane electromagnetic wave is the solution of the system of non-linear wave equations of the second order for the electric and magnetic induction fields. We have found the canonical and symmetrical energy-momentum tensors and their non-zero traces. So, the trace anomaly of the energy-momentum tensor was obtained in electrodynamics on non-commutative spaces. It was noted that the dual transformations of electromagnetic fields on non-commutative spaces are broken.

研究の動機と目的

• クaternion的およびスピンテンソル形式を用いて、古典的マクスウェル電磁力学を非可換時空へ拡張すること。
• 非可換幾何における電磁波を支配する非線形場方程式を導出すること。
• エネルギー運動量テンソルを分析し、NC電磁力学においてトレース異常が生じるかどうかを特定すること。
• 非可換時空において双対変換が保存されるかを調査すること。
• 非可換性が電磁場ダイナミクスおよび相対論的対称性に与える物理的影響を探索すること。

提案手法

• 非可換構造は、$[\widehat{x}_\mu, \widehat{x}_\nu] = i\theta_{\mu\nu}$ でモデル化され、$\theta_{\mu\nu}$ は定数の反対称テンソルである。
• 非可換場の相互作用を記述するために、Moyal-Weyl スタープロダクト $A(x) \star B(x)$ が用いられ、ラグランジアンに非局所性を符号化する。
• 非可換場と可換場の対応を確立するために、$\theta_{\mu\nu}$ の1次まででSeiberg-Witten 写像が適用される。
• 場強度テンソルは $\widehat{F}_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ie[A_\mu, A_\nu]_M$ として表現され、Moyal括弧が非可換性を符号化する。
• パウリ行列とバイクォータニオン代数を用いて、スピンテンソル（クォータニオン）形式に簡潔に再定式化する。
• Canonical および対称形式のエネルギー運動量テンソルが導出され、そのトレースが計算されて異常を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオン形式を用いて非可換時空上に定式化されたマクスウェル方程式は、どのように変化するか？
• RQ2 非可換電磁力学における非線形波動方程式に対して、平面電磁波は正確な解のまま残るか？
• RQ3 非可換電磁力学においてエネルギー運動量テンソルのトレースがゼロでないか、すなわちトレース異常を示すか？
• RQ4 非可換時空において電磁場の双対変換が保存されるか？
• RQ5 非可換パラメータ $\theta_{\mu\nu}$ は、ローレンツ対称性および双対対称性の破れに果たす役割は何か？

主な発見

• 非可換マクスウェル理論は、電場および磁束密度場の非線形2階波動方程式を、コン pact なクォータニオン形式で導出する。
• 非可換時空における導出された非線形波動方程式に対して、平面電磁波は正確な解として残る。
• Canonical および対称エネルギー運動量テンソルが計算され、両者とも非ゼロのトレースを示し、NC電磁力学にトレース異常が存在することを確認する。
• 電磁場の双対対称性は、非可換時空において明示的に破れている。これは、場の方程式がホッジ双対性の下で不変でないためである。
• 非可換パラメータ $\theta_{\mu\nu}$ は、小さく（$\Lambda_{NC} \geq 10^3$ GeV）ても、高エネルギー域で観測可能な効果を引き起こし、非局所的相互作用および修正された場のダイナミクスをもたらす。
• クォータニオンおよびスピンテンソルの使用により、NC電磁力学の簡潔かつ対称的な定式化が可能となり、場の対称性および保存則の分析が容易になる。