[論文レビュー] McKay correspondence and equivariant sheaves on $P^1$

Alexander Kirillov|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限部分群 $G \subset \mathrm{SU}(2)$ に対応するアフィン・ディンキン図形のクーパー・クーパー図形 $Q_h$ に関連するクーパー図形 $Q_h$ の表現の導来圏と、$\mathbb{P}^1$ 上の $G$-等変層の導来圏（偶数部分に制限）との明示的同値性を確立する。主な貢献は、方向性に依存しない、等変層を用いたアフィン根系の標準的構成であり、コックスター元が $\mathcal{O}(-2)$ とのテンソル積として実現され、ディンキン図形の頂点と根系における $C$-軌道との間の双対写像が得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite subgroup in SU(2), and $Q$ the corresponding affine Dynkin diagram. In this paper, we review the relation between the categories of $G$-equivariant sheaves on $P^1$ and $Rep Q_h$, where $h$ is an orientation of $Q$, constructing an explicit equivalence of corresponding derived categories.

研究の動機と目的

• $\widehat{Q} = Q \times \mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$ 上の本質的経路のオクネアヌの組合せ的構成を、$\mathbb{P}^1$ 上の等変層を用いてカテゴリカルに解釈すること。
• ディンキン図形 $Q$ の各適切な向き $h$ に対して、導来圏 $D^b(\mathrm{Coh}_G(\mathbb{P}^1)_0) \simeq D^b(\mathrm{Rep}\,Q_h)$ の明示的同値性を構成すること。
• $\mathcal{C}$ の偶数部分のGrothendieck群 $K(\mathcal{C})$ がアフィン根格子であり、分解不能対象が実根および虚根に対応することを示すこと。
• コックスター元が $\mathcal{O}(-2)$ とのテンソル積として作用することを示し、Auslander–Reiten ファンクター $\tau$ の幾何的実現を与えること。

提案手法

• $\mathcal{C} = \mathrm{Coh}_G(\mathbb{P}^1)_0$ を定義する。これは、$\mathbb{P}^1$ 上の $G$-等変 $\mathcal{O}$-加群のカテゴリの $\mathbb{Z}_2$-次数付き部分カテゴリである。
• $Q$ の各向き $h$ に対して、三角的同値 $R\Phi_h: D^b(\mathcal{C}) \xrightarrow{\sim} D^b(\mathrm{Rep}\,Q_h)$ を構成する。
• $D^b(\mathcal{C})$ 上での自己同値 $[\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(-2)]$ をコックスター元 $C$ として実現し、Auslander–Reiten 翻訳 $\tau$ と一致させること。
• $\mathcal{C}$ 内の分解不能対象を、$\mathcal{O}(n) \otimes X_i$（局所有理的、実根に対応）および $G$-軌道に台を持つねじれ層（虚根に対応）として特定すること。
• 高さ関数 $h$ を用いてコックスター元 $C = \left(\prod_{i\text{ odd}} s_i\right)\left(\prod_{i\text{ even}} s_i\right)$ を定義し、根への作用を $C(e_i) = e_{i\pm 2} \mp \frac{2}{n}\delta$ で計算すること。
• $\alpha = e_i - e_j + a\delta$ に対して $C^{n/2}(\alpha) = \alpha - (\alpha, \varepsilon)\delta$ が成り立つことを検証し、$\varepsilon = \sum_{i\text{ even}} e_i - \sum_{i\text{ odd}} e_i$ とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オクネアヌの $\widehat{Q} = Q \times \mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$ 上の本質的経路の組合せ的構成は、どのようにカテゴリカルに解釈できるか？
• RQ2 等変層の導来圏とクーパー図形表現の導来圏 $\mathrm{Rep}\,Q_h$ の間で、方向性に依存しない明示的同値性を構成できるか？
• RQ3 等変層の導来圏におけるコックスター元の幾何的意味は何か？
• RQ4 分解不能対象 $\mathrm{Coh}_G(\mathbb{P}^1)$ は、アフィンリー代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ の実根および虚根に対応するか？
• RQ5 アフィンディンキン図形 $Q$ の頂点と根系 $\Delta$ 内の $C$-軌道との間に自然な双対写像が存在するか？

主な発見

• $\mathcal{C}$ の導来圏 $D^b(\mathcal{C})$ は、任意の向き $h$ に対して $D^b(\mathrm{Rep}\,Q_h)$ に同値であり、反射関手と整合する同値性を持つ。
• $K(\mathcal{C})$ はアフィン根格子に同型であり、分解不能対象の類 $\Delta$ はアフィン根系をなす。
• コックスター元 $C$ は $\mathcal{O}(-2)$ とのテンソル積として作用し、$\alpha = e_i - e_j + a\delta$ に対して $C^{n/2}(\alpha) = \alpha - (\alpha, \varepsilon)\delta$ が成り立つ。ここで $\varepsilon = \sum_{i\text{ even}} e_i - \sum_{i\text{ odd}} e_i$ である。
• $\Delta_0$（デフレクトゼロ対象、正則表現に対応）は $i \equiv j \mod 2$ を満たす根から成り、$C$ は $\Delta_0$ 上で有限軌道をもつ。
• $\Delta_+$（正根）は $C$-軌道と自然に双対的であり、$\Delta_+ / C$ は自然に $Q$ の頂点と双対的である。
• $G = \mathbb{Z}_n$, $n = 2k$ の場合、根系 $\Delta(Q)$ は $\{e_i - e_j + a\delta \mid i \neq j, a \in \frac{j-i}{n} + \mathbb{Z}\}$ として記述され、基本根は $\alpha_i = e_i - e_{i+1} + \frac{1}{n}\delta$ である。