[論文レビュー] McKay Correspondence for semisimple Hopf actions on regular graded algebras, II

Kenneth Chan, Ellen Kirkman+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、Artin-Schelter正則代数上の半単純ホイッパー代数作用へマケイ対応を拡張し、固定部分環 $A^H$、スモッシュ積 $A\#H$、および自己準同型環 $ olimits_{A^H}(A)$ の加群カテゴリのカテゴリ的同値を確立する。Gabriel線図とマケイ線図の同型を証明し、最大コhen-Macaulay加群の自己準同型環のグローバル次元および表現次元に関するルシュケの結果の非可換一般化を提供する。

ABSTRACT

We continue our study of the McKay Correspondence for grading preserving actions of semisimple Hopf algebras H on (noncommutative) Artin-Schelter regular algebras A. Here, we establish correspondences between module categories over A^H, over A\#H, and over \End_{A^H} A. We also study homological properties of (endomorphism rings of) maximal Cohen-Macaulay modules over A^H.

研究の動機と目的

• 半単純ホイッパー代数作用を用いた非可換設定への古典的マケイ対応の一般化を図る。
• 予想される同型 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$ の下で、$A^H$、$A\#H$、および $ olimits_{A^H}(A)$ の加群カテゴリのカテゴリ的同値を確立する。
• ホイッパー作用 $H$ に対する $A$ のGabriel線図とマケイ線図が有向グラフとして同型であることを証明する。
• 固定部分環 $A^H$ が有限コヘン・マカウレイ型をもつ非可換設定へ、ハーツォーグおよびルシュケのグローバル次元と表現次元に関する結果を拡張する。
• 特に、$A^H$ 上の最大コヘン・マカウレイ加群のホモロジー的性質、特にその自己準同型環を調査する。

提案手法

• 次元2および他の特定のケースで成立することが知られている、予想される次数付き代数同型 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$ を用いる。
• 最大コヘン・マカウレイ加群およびその自己準同型環の理論を応用し、$A^H$、$A\#H$、$ olimits_{A^H}(A)$ 上の非分解加群間の対応を構成する。
• ホイッパー加群カテゴリのGabriel線図と、$A$ における$H$作用のマケイ線図を用い、グラフ同型を確立する。
• 非可換ホモロジー代数の結果、特にバランスド双対複体およびゴレンスタイン性質を応用し、自己準同型環のグローバル次元および深さを分析する。
• 表現次元の概念を用い、一般化されたAS正則代数に関する定理を適用して、MCM加群の自己準同型環のグローバル次元の上限を求める。
• 文献[17]および[26]の結果を応用し、$ olimits(A^H) = 2$ のとき、MCM加群の自己準同型環が一般化されたAS正則かつPIであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純ホイッパー作用がArtin-Schelter正則代数に作用するとき、同型 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 AS正則代数における$H$作用のGabriel線図とマケイ線図は、有向グラフとして同型であるか？
• RQ3 固定部分環 $A^H$ 上の最大コヘン・マカウレイ加群の自己準同型環のグローバル次元は何か？
• RQ4 ルシュケのコヘン・マカウレイ環の表現次元に関する結果を、$A^H$ の非可換設定に拡張できるか？
• RQ5 $ olimits(A^H) = 2$ のとき、$A^H$ 上のMCM加群の直和の自己準同型環は、一般化されたAS正則かつPI的であるか？

主な発見

• 予想される同型 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$ を仮定すると、$A$ を左 $A^H$-加群として見たときの非分解直和成分の同型類、$ olimits_{A^H}(A)$ 上の有限生成射影初期加群、$A\#H$ 上の加群、および単純$H$-加群の間で一対一対応が確立される。
• ホイッパー作用 $H$ に対する $A$ のGabriel線図とマケイ線図は、有向グラフとして同型であり、古典的結果の非可換一般化を確認する。
• ノエター的かつ共通次数付きのコヘン・マカウレイ代数 $B$ で、$ olimits(B) = 2$ かつ有限コヘン・マカウレイ型をもつとき、$B$ 上のすべての非分解MCM右加群（シフトを除き）の有限直和 $M$ に対する自己準同型環 $E = \operatorname{End}_{B}(M)$ は、次元2のノエター的PI的一般化AS正則代数である。
• $ olimits(B) = 2$ のとき、自己準同型環 $E$ はグローバル次元2であり、ゴレンスタイン的であり、バランスド双対複体をもつため、一般化されたAS正則性が確認される。
• 中心 $ olimits(B) = 2$ かつ $B$ が有限コヘン・マカウレイ型をもつとき、$B = A^H$ の中心は削除可能である。これは、自己準同型環 $E$ が半素的であるためである。
• グローバル次元が3だが深さが2である反例により、$ olimits(B) \geq 3$ の場合、結果は成り立たない。このとき、自己準同型環はコヘン・マカウレイ的でもAS正則的でもない。