[論文レビュー] McKay's E7 and E6 observations on the Babymonster and the largest Fischer group

Gerald Hoehn, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、頂点作用素代数（VOA）理論を用いて、McKayのBaby MonsterとFischer群Fi24に関するE7およびE6の観察を再解釈する。導出されたc=7/10およびc=6/7のVirasoro生成子を分析することで、二面体部分群とアフィンE7およびE6図からの部分代数の自然な対応関係を確立し、Miyamoto対合の積がそれぞれの散発的群を生成し、{3,4}-転移性および3転移性を回復することを示す。

ABSTRACT

E7 part: In this paper, we study McKay's E7 observation on the Baby Monster. By investigating so called derived c=7/10 Virasoro vectors, we show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of the Baby Monster and certain subalgebras of the Baby Monster vertex operator algebra which are constructed by the nodes of the affine E7 diagram. This allows us to reinterpret McKay's E7 observation via the theory of vertex operator algebras. For a class of vertex operator algebras including the Moonshine module, we will show that the product of two Miyamoto involutions associated to derived c=7/10 Virasoro vectors in certain commutant vertex operator algebras is an element of order at most 4. For the case of the Moonshine module, we obtain the Baby monster vertex operator algebra as the commutant and we can identify the group generated by these Miyamoto involutions with the Baby Monster and recover the {3,4}-transposition property of the Baby Monster in terms of vertex operator algebras. E6 part: In this paper, we study McKay's E6-observation on the largest Fischer 3-transposition group Fi24. We investigate a vertex operator algebra VF of central charge 23+1/5 on which the Fischer group Fi24 naturally acts. We show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of Fi24 and certain vertex operator subalgebras constructed by the nodes of the affine E6 diagram by investigating so called derived Virasoro vectors of central charge 6/7. This allows us to reinterpret McKay's E6-observation via the theory of vertex operator algebras. It is also shown that the product of two non-commuting Miyamoto involutions of sigma-type associated to derived c=6/7 Virasoro vectors is an element of order 3, under certain general hypotheses on the vertex operator algebra. For the case of VF, we identify these involutions with the 3-transpositions of the Fischer group Fi24.

研究の動機と目的

• McKayのBaby Monsterに関するE7観察を、頂点作用素代数（VOA）理論の観点から再解釈すること。
• 導出されたc=7/10 Virasoro生成子を介して、Baby Monsterの二面体部分群とアフィンE7図からの部分代数との対応関係を確立すること。
• 導出されたc=7/10 Virasoro生成子に関連するMiyamoto対合の積がBaby Monsterを生成し、{3,4}-転移性を満たすことを示すこと。
• 中央指数23+1/5のVOAを用いて、最大Fischer群Fi24への分析を拡張すること。
• 非可換なsigma型Miyamoto対合の積が位数3の元を生成することを示し、Fi24の3転移性を回復すること。

提案手法

• Moonshineモジュールにおいて、特にc=7/10の導出Virasoro生成子を調査し、アフィンE7図からの部分代数に同型な部分代数を構成する。
• Moonshineモジュールの補空間頂点作用素代数を分析し、Baby Monster頂点作用素代数を同定する。
• c=7/10の導出Virasoro生成子に関連するMiyamoto対合を用い、その積を分析することで、Baby Monsterの{3,4}-転移性を回復する。
• 中央指数23+1/5のVOA VFに着目し、Fi24が自然に作用する構造を調べ、c=6/7の導出Virasoro生成子に注目する。
• これらの導出Virasoro生成子を介して、Fi24の二面体部分群とアフィンE6図のノードから構成された部分代数との対応関係を確立する。
• 一般仮定の下で、c=6/7のVirasoro生成子に関連する非可換なsigma型Miyamoto対合の積が位数3であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 McKayのBaby Monsterに関するE7観察を、頂点作用素代数の視点からどのように再解釈できるか？
• RQ2 Baby Monsterの二面体部分群と、アフィンE7図から構成されたBaby Monster VOAの部分代数との間の構造的対応関係は何か？
• RQ3 c=7/10の導出Virasoro生成子が、Miyamoto対合およびその積を通じてBaby Monsterをどのように生成するか？
• RQ4 中央指数23+1/5のVOA VFは、c=6/7の導出Virasoro生成子を通じて、Fischer群Fi24の作用をどのように実現するか？
• RQ5 二つの非可換なsigma型Miyamoto対合の積が位数3である条件は何か？また、これはFi24の3転移性とどのように関係するか？

主な発見

• c=7/10の導出Virasoro生成子を介して、Baby Monsterの二面体部分群とアフィンE7図のノードから構成されたBaby Monster VOAの部分代数との自然な対応関係が確立された。
• Moonshineモジュールにおけるc=7/10の導出Virasoro生成子に関連する二つのMiyamoto対合の積は、Baby Monsterを実現する群を生成し、{3,4}-転移性を満たす。
• c=7/10の導出Virasoro生成子に関するMoonshineモジュールの補空間が、Baby Monster頂点作用素代数として同定された。
• 中央指数23+1/5のVOA VFにおいて、c=6/7の導出Virasoro生成子を介して、Fi24の二面体部分群とアフィンE6図からの部分代数との対応関係が特定された。
• 一般仮定の下で、c=6/7のVirasoro生成子に関連する非可換なsigma型Miyamoto対合の積が位数3であることが示された。
• VFの場合、これらの対合はFischer群Fi24の3転移元と同定され、VOA理論を通じて3転移性が確認された。