[論文レビュー] McKean-Vlasov equations involving hitting times: blow-ups and global solvability

Erhan Bayraktar, Gaoyue Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

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ひとこと要約

本稿は、ゼロへの到達時間を含む2つのMcKean-Vlasov方程式における爆発現象を分析し、過冷却ステファン問題との関連性と、新たなエントロピーに基づく変換を用いて、グローバル解の存在条件を確立する。最初の式（負のフィードバック）では、αおよび初期分布が単純な条件を満たせばグローバル存在が保証される。第二の式（対数的フィードバック）では、βが大きくαが小さい場合にグローバル可解性が証明され、相対エントロピーと非局所性を除去するための新規変換を用いた非局所Fokker-Planck方程式の解析が行われる。

ABSTRACT

This paper is concerned with the analysis of blow-ups for two McKean-Vlasov equations involving hitting times. Let $(B(t); \, t \ge 0)$ be standard Brownian motion, and $τ:= \inf\{t \ge 0: X(t) \le 0\}$ be the hitting time to zero of a given process $X$. The first equation is $X(t) = X(0) + B(t) - α\mathbb{P}(τ\le t)$. We provide a simple condition on $α$ and the distribution of $X(0)$ such that the corresponding Fokker-Planck equation has no blow-up, and thus the McKean-Vlasov dynamics is well-defined for all time $t \ge 0$. Our approach relies on a connection between the McKean-Vlasov equation and the supercooled Stefan problem, as well as several comparison principles. The second equation is $X(t) = X(0) + βt + B(t) + α\log \mathbb{P}(τ> t)$, whose Fokker-Planck equation is non-local. We prove that for $β> 0$ sufficiently large and $α$ no greater than a sufficiently small positive constant, there is no blow-up and the McKean-Vlasov dynamics is well-defined for all time $t \ge 0$. The argument is based on a new transform, which removes the non-local term, followed by a relative entropy analysis.

研究の動機と目的

• ゼロへの到達時間を含むMcKean-Vlasov方程式における爆発現象を分析し、グローバル可解性を妨げる要因を特定する。
• Fokker-Planck方程式がすべての時刻 t ≥ 0 において適切に定義されるようにするパrameter α および β に関する十分条件を確立する。
• 最初の式を過冷却ステファン問題と関連づけ、比較原理を用いてグローバル存在を証明する。
• 第二の式のFokker-Planck方程式における非局所性を除去するための新規変換を開発し、相対エントロピー解析を適用する。
• 生存確率の時間微分に関するグローバルL²バインディングを証明し、爆発を防ぐ。

提案手法

• 最初の式（X(t) = X(0−) + B(t) − αℙ(τ ≤ t)）に対して、過冷却ステファン問題との関連を用いて、比較原理によりグローバル存在を導出する。
• 累積分布関数 ℙ(τ ≤ t) における潜在的な爆発を扱うために、一般化された解の概念を採用する。
• 第二の式（X(t) = X(0−) + βt + B(t) + α ln ℙ(τ > t)）に対して、Fokker-Planck方程式の非局所項を除去するための新規変換を導入する。
• 変換された方程式に相対エントロピー解析を適用し、解のL²ノルムに関する微分不等式を導出する。
• 解の成長と λ(t)（すなわち ln ℙ(τ > t) の時間微分）を制御するための、リャプノフ型関数 I(t) を構築する。
• ヤングの不等式とカットオフ関数を用いて、I(t) および λ(t) の推定を行い、λ(t) に対するグローバルL²バインディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のフィードバック −αℙ(τ ≤ t) を持つMcKean-Vlasov方程式が、爆発を伴わずにグローバル解を有するための、α および初期分布 X(0−) に関する条件は何か？
• RQ2 対数的フィードバック α ln ℙ(τ > t) に起因する非局所Fokker-Planck方程式をどのように解析すれば爆発を防げるか？
• RQ3 第二のモデルのFokker-Planck方程式における非局所項を除去する変換を構築できるか？
• RQ4 相対エントロピーは、変換された方程式の解に対するグローバルバインディングを確立するために果たす役割は何か？
• RQ5 第二の式のグローバル可解性を保証するβおよびαに関する定量的閾値は存在するか？

主な発見

• β = 0 かつ f(x) = −αx の場合、α および初期分布が単純な条件を満たせば、Fokker-Planck方程式における爆発が防がれ、グローバル可解性が成立する。
• 過冷却ステファン問題との関連により、比較原理を用いて物理的解のグローバル存在と一意性を証明できる。
• β > 0 かつ f(x) = α ln(1−x) の場合、初期データおよび定数に依存する十分に大きな C₀ に対して、β ≥ C₀ かつ α ≤ 1/C₀ であれば、グローバル可解性が確立される。
• 新規変換により、Fokker-Planck方程式の非局所項が効果的に除去され、相対エントロピー技法の適用が可能になった。
• λ(t) = ∂t ln ℙ(τ > t) に対するグローバルL²バインディングが得られた：すべての t > 0 に対して ∫₀ᵗ λ²(s)ds ≤ 4eκ(C₁t + M) が成り立つ。ここで M = max{1, I(0)} である。
• 微分不等式 I′(t) ≤ −1/(4eκ)λ²(t) + C₁ が確立され、I(t) が有界に保たれることを保証する。これにより爆発は防がれる。