[論文レビュー] MDS Array Codes with Optimal Rebuilding

Itzhak Tamo, Zhiying Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2011

Advanced Data Storage Technologies参考文献 18被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、$r$-エラー訂正のためのシステム的MDSアレイ符号の、再構成比 $\frac{1}{r}$ を達成する最初の明示的構成を提示する。情報理論的下界に達しており、$r=2$ の場合に $\mathbb{F}_3$ 上の線形結合を用いた交差するジグザグ集合（IZS符号）を用いる。これにより、生存ノードごとにアクセスするデータ量を $\frac{1}{r}$ に制限し、正確な再構成が可能となり、符号化・復号・最適な更新特性もサポートする。

ABSTRACT

MDS array codes are widely used in storage systems to protect data against erasures. We address the \emph{rebuilding ratio} problem, namely, in the case of erasures, what is the the fraction of the remaining information that needs to be accessed in order to rebuild \emph{exactly} the lost information? It is clear that when the number of erasures equals the maximum number of erasures that an MDS code can correct then the rebuilding ratio is 1 (access all the remaining information). However, the interesting (and more practical) case is when the number of erasures is smaller than the erasure correcting capability of the code. For example, consider an MDS code that can correct two erasures: What is the smallest amount of information that one needs to access in order to correct a single erasure? Previous work showed that the rebuilding ratio is bounded between 1/2 and 3/4, however, the exact value was left as an open problem. In this paper, we solve this open problem and prove that for the case of a single erasure with a 2-erasure correcting code, the rebuilding ratio is 1/2. In general, we construct a new family of $r$-erasure correcting MDS array codes that has optimal rebuilding ratio of $\frac{1}{r}$ in the case of a single erasure. Our array codes have efficient encoding and decoding algorithms (for the case $r=2$ they use a finite field of size 3) and an optimal update property.

研究の動機と目的

• 2-エラー訂正のためのシステム的MDSアレイ符号における単一エラーの最小再構成比を解明するという未解決問題を解決すること。
• 任意の定数 $r$ に対して、再構成比 $\frac{1}{r}$ を達成する $r$-エラー訂正のためのシステム的MDSアレイ符号の族を構築すること。
• 1つの情報要素を更新する際に、アレイ内での要素更新回数を $n-k+1$ 回に制限する、最適な更新効率を達成すること。
• システム的ノードの正確な再構成における再構成帯域幅の情報理論的下界に一致すること。

提案手法

• 特定の組合せ的構造を持つ情報シンボルの線形結合によってパリティシンボルを形成する、新しい符号構成法である交差するジグザグ集合（IZS）符号を提案する。
• 部分行列の行列式条件を介してMDS性を保証するため、$A_l^3 = a^l I$ を満たす $\mathbb{F}_3$ 上の行列 $A_l$ を用いる。
• 行列 $[I, A_0, \dots, A_m; A_0^2, \dots, A_m^2]$ のすべての $1\times1$、$2\times2$、$3\times3$ ブロック部分行列が正則であることを保証する。
• 行列 $A_l$ と $A_l^2$ の可換性を活用し、すべての $l,m$ に対して $A_l A_m = A_m A_l$ が成り立つことを証明し、符号の一貫性を保証する。
• 符号の複製を用いて、$k+2$ 列符号から $k+n$ 列符号への拡張を実現し、最適な再構成とMDS性を維持する。
• 行列式の非消滅を用いてMDS性を証明する：$\det(A_i A_j^{-1} - I) \neq 0$ を、$A^3 = a^{i-j}I \neq I$ および $\det(A^3 - I)$ の因数分解により示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-エラー訂正のためのMDSアレイ符号における単一エラーの最小再構成比は何か？
• RQ2 再構成比 $\frac{1}{r}$ を達成する $r$-エラー訂正のためのMDSアレイ符号の明示的構成は可能か？
• RQ3 正確な再構成とMDS性を維持しつつ、最適な更新効率を達成することは可能か？
• RQ4 特に $r=2$ の場合に、このような構成に必要な最小の有限体サイズは何か？

主な発見

• 2-エラー訂正のためのMDSアレイ符号における単一エラーの再構成比は正確に $\frac{1}{2}$ であり、未解決問題が解決された。
• 提案されたIZS符号は、$r$ 個のエラーを訂正する際、再構成比 $\frac{1}{r}$ で情報理論的下界に達している。
• $r=2$ の場合、$\mathbb{F}_3$ を用いることで、最小限の体演算で効率的な符号化・復号が可能である。
• 符号は最適な更新をサポートしており、1つの情報要素を更新するにはアレイ内で $n-k+1$ 個の要素更新で十分である。
• 生成行列のすべての $3\times3$ ブロック部分行列が行列式解析により正則であることを示すことで、MDS性が証明された。
• 符号の複製を用いることで、任意の $n$ 列符号への拡張が可能であり、最適な再構成とMDS性が保持される。