[論文レビュー] MDS codes with arbitrary dimensional hull and their applications

Gaojun Luo, Xiwang Cao|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限体上の一般化 Reed-Solomon (GRS) 及び拡張 GRS コードを用いて、任意の次元のハルをもつ MDS コードの無限族を構成する。ハル次元を活用することで、パrameter を柔軟に制御できる新しい MDS エンタングルメント補助量子エラー訂正符号 (EAQECC) の無限族を導出し、実現可能な量子符号構成の範囲を著しく拡大する。

ABSTRACT

The hull of linear codes have promising utilization in coding theory and quantum coding theory. In this paper, we study the hull of generalized Reed-Solomon codes and extended generalized Reed-Solomon codes over finite fields with respect to the Euclidean inner product. Several infinite families of MDS codes with arbitrary dimensional hull are presented. As an application, using these MDS codes with arbitrary dimensional hull, we construct several new infinite families of entanglement-assisted quantum error-correcting codes with flexible parameters.

研究の動機と目的

• 有限体上での一般化 Reed-Solomon (GRS) 及び拡張 GRS コードを用いて、任意の次元のハルをもつ MDS コードを構成すること。
• 既存の MDS コード構成におけるギャップを埋めるために、量子符号設計において極めて重要なハル次元を制御可能にする。
• 調整可能なハル次元をもつこれらの MDS コードを応用し、エンタングルメント補助量子エラー訂正符号 (EAQECC) の新しい無限族を生成すること。
• ハル次元を用いた体系的な手法を提供し、EAQECC に必要な最大エンタングルメント状態の数を特定すること。
• 事前に共有されたエンタングルメントを用いることで双対性の制約を緩和し、MDS コードの量子情報理論への応用範囲を拡大すること。

提案手法

• 評価点および重みを慎重に選択することで、GRS 及び拡張 GRS コードからハル次元を制御可能な MDS コードを構成する。
• 有限体上のユークリッド内積を用いて、ハルをコードとその双対の共通部分として定義する。
• 補間多項式および対称関数を用いた代数的技法を用い、得られるコードが MDS であり、指定されたハル次元をもつことを保証する。
• ハル次元から、EAQECC に必要な最大エンタングルメント状態の数を導出する。その式では、共有ベル状態の数がハル次元に等しい。
• ハル次元 s をもとに、パラメータ $[[n,k_1,d_1;c_1]]_q$ 及び $[[n,k_2,d_2;c_2]]_q$ をもつ MDS EAQECC を生成する 2 つの構成族（定理 4.7 及び 4.8）を確立する。
• 生成行列の代数的解析および双対コードの共通部分を用いて、MDS 性およびハル次元を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の GRS 及び拡張 GRS コードから、系統的に任意の次元のハルをもつ MDS コードを構成できるか？
• RQ2 線形コードのハル次元が、エンタングルメント補助量子エラー訂正符号における必要とされる最大エンタングルメント状態の数にどのように影響するか？
• RQ3 GRS コードのパラメータにどのような必要十分条件が存在するか、そのハル次元を指定しつつ MDS 性を維持できるか？
• RQ4 提案された構成法により、パrameter を柔軟に制御できる MDS EAQECC の無限族を生成できるか？
• RQ5 得られた EAQECC におけるハル次元とパラメータ $k_1, d_1, c_1$ 及び $k_2, d_2, c_2$ の関係は何か？

主な発見

• 本稿では、GRS コードに対してはハル次元 $s$ を 0 から $k-1$ の範囲、拡張 GRS コードに対しては $n-k$ まで任意に制御可能な MDS コードの無限族を構成した。
• $q=16$, $n=17$, $k=17-s$ の場合、パラメータ $[[17,k-s,n-k+1;n-k-s]]_{16}$ の MDS EAQECC が得られ、$s$ の柔軟な制御が可能であることを示した。
• $q=81$, $n=9$ の場合、$k=2$, $s=1$ のとき $[[9,1,8,6]]_{81}$、$k=2$, $s=2$ のとき $[[9,0,8,5]]_{81}$ が得られ、$s$ の全範囲がカバーされた。
• $q=27$, $n=13$ の場合、$k=2$, $s=1$ のとき $[[13,1,12,10]]_{27}$、$k=2$, $s=2$ のとき $[[13,0,12,9]]_{27}$ が得られ、本手法のスケーラビリティが確認された。
• ハル次元 $s$ は、EAQECC に必要な最大エンタングルメントベル状態の数を直接決定し、2 つの構成族では $c_1 = n-k-s$ および $c_2 = k-s$ となる。
• 本手法により、$c_1 > 0$ および $c_2 > 0$ の両方の MDS EAQECC を構成可能であり、$c_1 = 0$ または $c_2 = 0$ の場合も含め、すべてのエンタングルメント要件をカバーできる。